01. Um designer de joias, motivado pelo lançamento das medalhas comemorativas dos Jogos Olímpicos Rio 2016, resolveu fazer uma medalha de ouro maciço na forma de um cilindro circular reto com diâmetro de $28mm$ e espessura de $2mm$ para comemorar suas bodas de ouro em $2016$. Considerando a massa específica do ouro como $20 \frac{g}{cm^3}$ e $\pi = 3$, então serão necessárias $23,52g$ de ouro para confeccionar a medalha.
02. Uma lanchonete vende sucos em copos completamente cheios com a forma de um cone circular reto. Um cliente solicitou um copo de suco de morango. O atendente serviu o suco até atingir $80 \%$ da altura do nível do copo cheio. Nesse caso, é correto afirmar que o cliente já terá sido lesado em mais do que a metade do volume de suco do copo.
04. A expressão matemática, em função de $x (x>1)$, para o cálculo da capacidade do prisma reto de base hexagonal regular, com a base medindo $x-1$ e a altura medindo $x$, é $C= \frac{\sqrt{3}}{4}x^3 + \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}x$.
08. Numa pirâmide de base quadrada cujo lado mede $8cm$ e cujas arestas laterais medem $9cm$, a altura mede $7cm$.
Resolução:
01. Verdadeiro
O volume do cilindro circular reto é dado por $V= \pi r^2 h$ e substituindo as informações contidas no enunciado obtemos:
$$V= 3.(\frac{28}{2}).2 = 1176mm^3$$
Para calcular a massa necessária, basta multiplicarmos o volume obtido pelo valor da massa específica (cuidado com as unidades de medida!):
$$20.1,176 = 23,52g$$
02. Falso
Tomemos $r$ e $h$ como o raio e a altura do copo, respectivamente. Temos que o volume de um cone é dado por $V=\frac{\pi.r^2.h}{3}$. Como o copo foi servido com $80 \%$ da capacidade, então tanto o raio, quanto a altura serão dados por $0,8r$ e $0,8h$, assim:
Note que a expressão acima é $0,512$ da expressão inicial, ou seja, é $51,2 \%$ do copo cheio.
04. Falso
O volume do prisma será dado por $\frac{\sqrt{3}.3x.(x-1)^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}x}{2}$
08. Verdadeiro
É imediato, pelas teorias, que se a aresta da base mede $8cm$, então a medida do raio do círculo circunscrito à base da pirâmide vale $4\sqrt{2}cm$. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, segue que $h=7cm$.
Tomemos $r$ e $h$ como o raio e a altura do copo, respectivamente. Temos que o volume de um cone é dado por $V=\frac{\pi.r^2.h}{3}$. Como o copo foi servido com $80 \%$ da capacidade, então tanto o raio, quanto a altura serão dados por $0,8r$ e $0,8h$, assim:
$V=\frac{\pi.(0,8r)^2.0,8h}{3}$
$V=\frac{0,512.r^2.h}{3}$
Note que a expressão acima é $0,512$ da expressão inicial, ou seja, é $51,2 \%$ do copo cheio.
04. Falso
O volume do prisma será dado por $\frac{\sqrt{3}.3x.(x-1)^2}{2}=\frac{3\sqrt{3}x}{2}$
08. Verdadeiro
É imediato, pelas teorias, que se a aresta da base mede $8cm$, então a medida do raio do círculo circunscrito à base da pirâmide vale $4\sqrt{2}cm$. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, segue que $h=7cm$.
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