Teste da Integral

Enunciado: Suponha que $f$ seja uma função contínua, positiva e decrescente em $[1, \infty)$ e seja $a_{n}=f(n)$. 
Então a série $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ é convergente se e somente se a integral imprópria $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ for convergente. Ou seja:

(i) Se $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ for convergente, $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ é convergente.
(ii) Se $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ for divergente, $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ é divergente.


Demonstração: Como $f(x)$ é decrescente e $f(n)=a_{n}$, podemos colocar os termos da seguinte forma:
$$a_{n+1}=f(n+1) \leqslant f(x) \leqslant  f(n) = a_{n}$ se $x \in [n, n+1]$$
Integrando no intervalo teremos:
$$a_{n+1}=\int_{n}^{n+1}f(x)dx \leqslant a_{n}$$
Somando até $N$:
$$\sum_{n=1}^{N}a_{n+1} \leqslant \int_{1}^{N+1}f(x)dx \leqslant \sum_{n=1}^{N}a_{n}$$

Como $f(x)>0$ então a integral ou tende ao infinito ou converge.