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| Fonte: O Baricentro da Mente |
Temos, visto na imagem, que:
$OM=cosa$
$MP=sena$
$OS=cosb$
$SQ=senb$
$ON=cos(a+b)$
$NQ=sen(a+b)$
$OA=OP=OQ=1$
1) $\mathbf{cos(a+b)}$
Temos que $\Delta OVS \cong \Delta OMP$, assim podemos afirmar que:
$$\frac{OV}{OM}=\frac{OS}{OP} \Rightarrow \frac{OV}{cosa}=\frac{cosb}{1} \Rightarrow OV=cosa.cosb$$
$$\frac{TS}{PM}=\frac{QS}{OP} \Rightarrow \frac{TS}{sena}=\frac{senb}{1}\Rightarrow TS=sena.senb$$
Com essas relações e observando na figura acima, concluímos que:
$ON=OV-NV$
Assim:
$$cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb$$
2) $\mathbf{cos(a-b)}$
Para fazemos essa segunda demonstração, poderemos usar as relações utilizadas acima e notarmos que $cosb=cos(-b)$ e $senb=sen(-b)$, assim:
$$cos(a+(-b))=cosa.cos(-b)-sena.sen(-b)$$
$$cos(a-b)=cosa.cosb+sena.senb$$
3) $\mathbf{sen(a+b)}$
Uma das relações trigonométricas conhecidas é que: $sen( \theta) = cos( \frac{\pi}{2} - \theta)$ e tomamos $\theta = a+b$, dessa forma:
$$sen(a+b) = cos( \frac{ \pi }{2} - (a+b))$$
Assim
$$sen(a+b) = cos( \frac{\pi}{2} - a).cosb + sen( \frac{\pi}{2} - a).senb$$
$$sen(a+b)=sena.cosb + senb.cosa$$
4) $\mathbf{sen(a-b)}$
Da mesma forma que foi demonstrada a relação (2), temos que:
$$sen(a+(-b)) = sena.cos(-b) + sen(-b).cosa
$$sen(a-b)=sena.cosb - senb.cosa$$
5) $\mathbf{tg(a+b)}$
Sabendo que $tgx= \frac{senx}{cosx}$, assim também
$$tg(a+b)= \frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}=\frac{sena.cosb+cosa.senb}{cosa.cosb-sena.senb}
Tomando $cosa.cosb \neq 0$ e dividindo o numerador e o denominador da fração acima por $cosa.cosb$, obtemos
$$tg(a+b)= \frac{ \frac{sena}{cosa} + \frac{senb}{cosb}}{1-\frac{sena}{cosa}.\frac{senb}{cosb}}$$
Assim
$$tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tga.tgb}$$
6) $\mathbf{tg(a-b)}$
Como $tg(-b)=-tgb$, obtemos
$$tg(a+(-b))=\frac{tga-tgb}{1+tga.tgb}$$
