i. $f$ é contínua no intervalo $[a,b]$
ii. $f$ é diferenciável no intervalo $(a,b)$
iii. $f(a)=f(b)$
Demonstração: Como $f$ é contínua em $[a,b]$ então $f$ assume um valor máximo e um valor mínimo em $[a,b]$.
Sejam $m$ e $n$ os pontos de $[a,b]$ onde estes valores são atingidos, isto é, sejam $m$ e $n$ tais que $f(n) \leq f(x) \leq f(m)$, para todo $x \in [a,b]$.
Existem dois casos a serem considerados:
(i) A função $f$ é constante em $[a,b]$. Neste caso, $f(x)=f(a)=f(b)$, para todo $x \in [a,b]$. Assim $f'(x)=0$.
(ii) $f(x) \neq f(a) = f(b)$ $\exists x \in [a,b]$. Neste caso ou $m$ ou $n$ é diferente das extremidades $a$ e $b$ do intervalo considerado.
Sem perda de generalidade, suponhamos que seja $m$ este ponto. Como $m$ é um ponto de máximo e está no intervalo considerado, tem-se que $f'(m)=0$. Logo o ponto $m=c$, satisfazendo a conclusão do teorema.
Outra demonstração: Como $f$ é contínua, então pelo Teorema de Weierstrass, admite no intervalo $[a,b]$ um máximo $M$ e um mínimo $m$.
Suponhamos que $M \neq m$, então $f$ admite, no interior do intervalo $[a,b]$ um máximo, um mínimo ou os dois casos.
Admita-se que $f$ admite o valor máximo $M$ no ponto $c$ tal que $a<c<b$. Então para valores de $x<c$ vem $x-c<0$ e também $f(x)-f(c) \leq 0$ e, portanto, $\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geqslant 0$. Como $f$ é diferenciável no intervalo, então:
$$\lim_{x \to c^{-}} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \geqslant 0$$
Para valores a direita temos que:
$$\lim_{x \to c^{+}} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} = f'(c) \leqslant 0$$
Assim concluímos que $f'(c) \geqslant 0$ e $f'(c) \leqslant 0$, o que só é possível se $f'(c) = 0$, provando assim o teorema.
A demonstração é idêntica se, em vez de admitirmos um ponto de máximo, tomássemos um ponto de mínimo no intervalo dado. No arquivo abaixo consta duas demonstrações distintas para o teorema e uma lista de exercícios sobre o mesmo.
Baixe aqui a demonstração e a lista de exercícios - download
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