Teorema do Valor Médio

O Teorema do Valor Médio, também conhecido como Teorema de Lagrange, por ter sido Joseph-Louis Lagrange o primeiro a formulá-lo, afirma que: 

Se uma função f  satisfaz as seguintes hipóteses:

1. $f$ é contínua no intervalo $[a,b]$
2. $f$ é diferenciável no intervalo $(a,b)$

Então existe um número $c$ em $(a,b)$ tal que:
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Demonstração: A equação da reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ é
$$y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$
Se tomarmos $y=h(x)$, então
$$h(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$
Definindo $g(x)=f(x)-h(x)$, então:
$$g(x)=f(x)-f(a)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.(x-a)$$
Note que:

     (a) $g(a)=g(b)=0$
     (b) $g$ é uma função contínua em $[a,b]$
     (c) $g$ é derivável em $(a,b)$

Portanto, como a função $g$ satisfaz as condições do Teorema de Rolle, existe  $c \in (a,b)$ tal que:
$$g'(c)=0 \Rightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

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