Par ou Ímpar?

Um dos jogos mais populares entre as crianças é o famoso "par ou ímpar" e sempre tomado como um jogo aonde as duas pessoas que o disputam tem a mesma chance de vitória (50% para cada). Nele os apostadores tem que escolher entre "par" ou "ímpar" e colocar um número qualquer entre $0$ e $10$ com os dedos. A soma de todos os dedos postos será o resultado final, levando a vitória a apenas um dos jogadores.

 Mas afinal, a neutralidade realmente existe ou a vitória pende mais para uma escolha que para outra?

Vamos determinar quem tem mais chance de vencer com demonstrações simples.

Primeiro, vamos supor que os dois jogadores coloquem um número par com os dedos.

Vamos tomar os números $p$ e $q$ sendo números reais pares, ou seja, $p=2m$ e $q=2n$, sendo $m,n$ números reais quaisquer.

Dessa forma, $$p+q=2m+2n=2(m+n)=2k$$ ou seja, resultará em outro número par, afinal qualquer valor de $k$, multiplicado por $2$ será um par.

Vamos supor agora que uma criança coloque um número par $p$ e a outra um ímpar $r$, ou seja, $p=2m$ e $r=2n+1$, sendo $m,n$ números reais quaisquer.

Dessa forma, $$p+r=2m+2n+1=2(m+n)+1=2k+1$$ resultando em um número ímpar, afinal, qualquer par acrescido de $1$ torna-se ímpar.

Por fim, se fossem colocados dois números ímpares quaisquer, sendo eles $r=2m+1$ e $s=2n+1$, novamente com $m,n$ números reais quaisquer, então $$r+s=2m+1+2n+1=2(m+n)+2=2k+2=2(k+1)$$ sendo que essa soma resultará em um número par.

Concluímos assim que no jogo do par ou ímpar, levará vantagem aquele que escolher "par" como resultado final, pois a chance de sair par na soma é de $\frac{2}{3}$ como demonstrado acima. O jogo não é tão equilibrado assim!