Progressão Aritmética

Definição: Se $(a_1, a_2, ... , a_n)$ é uma progressão aritmética com razão $r$, então $a_n=a_1+(n-1)r$.


Demonstração: Por indução, vemos que para $n=1$ é verdadeira, pois:

$a_n=a_1+(n-1)r=a_n=a_1+(1-1)r=a_1=a_1+0r=a_1$

Agora, na hipótese de indução, consideremos que a fórmula vale para $n$, então vamos verificar $n+1$, assim:

$a_{n+1}=a_n+r=a_1+(n-1)r+r=a_1+nr=a_1+[(n+1)-1]r$

Logo é verificado para $n+1$.

Desse modo, pelo Princípio da Indução, a fórmula vale para todo número inteiro tal que $n \geq 1$

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Definição Soma: Sendo $(a_1, a_2, ... , a_n)$ uma progressão aritmética com razão $r$, então $S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$ é a soma dos $n$ termos da progressão.

Demonstração: Por indução, para $n=1$ se verifica, pois temos que

$S_1=\frac{(a_1+a_1).1}{2}=a_1$

Hipótese de indução: Seja $S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$, daí:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=(a_1+a_n)\frac{n}{2}+a_{n+1}=\frac{na_1+na_n+2_{an+1}}{2}=\frac{na_1+na_1+n(n-1)r+2a_{n+1}}{2}=\frac{(n+1)(a_1+a_{n+1}}{2}=(a_1+a_{n+1}).\frac{n+1}{2}$

Ou seja,

$S_{n+1}=(a_1+a_{n+1}).\frac{n+1}{2}$

Assim, pela hipótese de indução, a fórmula vale para todo $n$ inteiro, tal que $n \geq 1$.

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1 é o Menor Inteiro Positivo

Proposição: O número 1 é o menor inteiro positivo.

Demonstração: Vamos supor, por absurdo, que exista um número $a$ no Conjunto dos Inteiros, tal que $a<1$, ou seja, $0<a<1$.
Como $a^{2}>0$, afirmamos então que $a^{2}<a$. De fato, $a-a^{2}=a(1-a)>0$, pois $a>0$ e $1-a>0$.
Logo, $0<a^{2}<a$, contradizendo o fato de $a$ ser o menor positivo, o que é um absurdo.

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O Princípio da Indução

Seja $S$ um conjunto de números naturais, ou seja, $S\subseteq \mathbb{N}$ que satisfaça às propriedades: 

          $i.$ $1 \in S$
          $ii.$ Se $m \in S$, então $n+1 \in S$

Então $S=\mathbb{N}$ é o conjunto de todos os números naturais.

Demonstração: Vamos supor que $S \neq \mathbb{N}$, então existirá outro conjunto $P$, de modo que $P=\mathbb{N}$, assim $S \neq \varnothing$. Pelo princípio da indução existe um $m \in P$ de modo que $m \leqslant  n$, $\vee n \in P$. Como $1 \in S$ pela primeira propriedade, então $1 \notin P$. Assim concluimos que $n=m-1 \in S$. Pela segunda propriedade temos, porém, que $m=n+1 \in S$, de onde encontramos um absurdo, no qual $m \in P \cap S = \varnothing$. Isto mostra que $P \neq \varnothing$ é impossível, assim $P = \varnothing$ e $S = \mathbb{N}$.

Números Perfeitos e Amigáveis

É de conhecimento histórico que os primeiros passos no sentido do desenvolvimento da teoria dos números e, ao mesmo tempo, do lançamento das bases do futuro misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus seguidores. Um dos primeiros registros históricos que concretizam esse fato é creditado a Jâmblico, um filósofo neoplatônico que viveu por volta de $320$d.C. e que atribuiu a Pitágoras a descoberta dos números amigáveis. 

Dois números são chamados de amigáveis se cada um deles é a soma de todos os divisores do outro. Por exemplos, os números $220$ e $284$ são amigáveis, pois a soma de todos os divisores de $220$ resulta em $284$, já a soma de todos os divisores de $284$ resulta em $220$. O misticismo nesses números alcançou tamanha fama que rezava lenda e superstição de que dois talismãs com esses números selariam uma amizade eterna. Atualmente, todos os números amigos abaixo de um bilhão são conhecidos.
Além dos amigáveis, se atribuem aos Pitagóricos os números perfeitos, deficientes e abundantes. 

Um número perfeito é todo número em que a soma dos seus divisores resulta no próprio número. Um exemplo é o número $6$, em que os divisores somados $(1+2+3)$ resultam em $6$.  Euclides, no nono livro dos Elementos, prova que se $2^n-1$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^n-1)$ é um número perfeito.
Para essa fórmula de Euclides, podemos tomar $n=3$ como exemplo:

Para $n=3$, temos que $2^2(2^3-1)=28$, sendo $28$ um número perfeito.

Esta fórmula euclidiana permite encontrarmos apenas números pares e Euler provou que todo número perfeito tem essa forma. A existência (ou não) de número perfeitos ímpares é uma das questões em aberto da Teoria dos Números.

Referências
Eves, Howard. Introdução à história da matemática. Editora da Unicamp, 2004.

Par ou Ímpar?

Um dos jogos mais populares entre as crianças é o famoso "par ou ímpar" e sempre tomado como um jogo aonde as duas pessoas que o disputam tem a mesma chance de vitória (50% para cada). Nele os apostadores tem que escolher entre "par" ou "ímpar" e colocar um número qualquer entre $0$ e $10$ com os dedos. A soma de todos os dedos postos será o resultado final, levando a vitória a apenas um dos jogadores.

 Mas afinal, a neutralidade realmente existe ou a vitória pende mais para uma escolha que para outra?

Vamos determinar quem tem mais chance de vencer com demonstrações simples.

Primeiro, vamos supor que os dois jogadores coloquem um número par com os dedos.

Vamos tomar os números $p$ e $q$ sendo números reais pares, ou seja, $p=2m$ e $q=2n$, sendo $m,n$ números reais quaisquer.

Dessa forma, $$p+q=2m+2n=2(m+n)=2k$$ ou seja, resultará em outro número par, afinal qualquer valor de $k$, multiplicado por $2$ será um par.

Vamos supor agora que uma criança coloque um número par $p$ e a outra um ímpar $r$, ou seja, $p=2m$ e $r=2n+1$, sendo $m,n$ números reais quaisquer.

Dessa forma, $$p+r=2m+2n+1=2(m+n)+1=2k+1$$ resultando em um número ímpar, afinal, qualquer par acrescido de $1$ torna-se ímpar.

Por fim, se fossem colocados dois números ímpares quaisquer, sendo eles $r=2m+1$ e $s=2n+1$, novamente com $m,n$ números reais quaisquer, então $$r+s=2m+1+2n+1=2(m+n)+2=2k+2=2(k+1)$$ sendo que essa soma resultará em um número par.

Concluímos assim que no jogo do par ou ímpar, levará vantagem aquele que escolher "par" como resultado final, pois a chance de sair par na soma é de $\frac{2}{3}$ como demonstrado acima. O jogo não é tão equilibrado assim!

Teorema Fundamental da Aritmética

Todo inteiro $a\geq2$ pode ser escrito como produto de números primos. Esta decomposição é única, exceto pela ordem dos fatores primos.

Demonstração: Para essa demonstração, usaremos o princípio de indução sobre $a\geq2$. 
Para $P(2)$ é verdade, afinal existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio um primo.
Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro b, ou seja, que $P(b)$ seja verdadeira, $\forall 2\leq b< a$. Como $a>2$, existe um número primo $p_1$ tal que $p_1\mid a$, ou seja, existe $q\in\mathbb{Z}$ tal que $a=p_1q$. Se $q=1$ ou $q$ é primo, então $P(b)$ é verdadeira, caso contrário $2\leq q< a$ . Pela hipótese de indução, existem $p_2,p_3,...,p_r$ primos maiores que zero tais que:
$$q=p_2...p_r$$
Assim $a=p_1.q=p_1.p_2...p_r$, provando que $a$ pode ser escrito como $r$ produto de primos. Resta provar a unicidade.

Suponhamos agora que
$$a=p_1.p_2...p_r$$ e $$a=q_1.q_2...q_s$$ 
Como $p_1 \mid q_1.q_2...q_s$, então $p_1 \mid q_i$, para algum $i$, $1 \leq  i \leq r$, sem perda de generalidade, podemos supor que $i=1$.Daí $p_1 \mid q_1$ e como $q_1$ é primo, devemos ter $p_1=q_1$.

Temos também que
$$p_1.p_2...p_r=p_1.q_2...q_s$$
Como $p_1 \neq 0$, simplificando, obtermos que $p_2...p_r=q_2...q_s$. Repetindo esse processo chegaremos que $r=s$, ou seja, $p_1=q_1$. $p_2=q_2$ ... $p_r=q_r$.

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Duas demonstrações para a Fórmula de Bhaskara

Vamos demonstrar a fórmula de Bhaskara por dois métodos: pela forma mais conhecida, que é a de completar quadrados e a segunda chamada de Método de Viète.

1º) A equação de segundo grau a ser resolvida é:
$$ax^2+bx+c=0\Rightarrow a\neq 0$$

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por $4a$, resultando em: $(4a).(ax^2+bx+c)=0.(4a) \Rightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac=0$.

Passando o termo $4ac$ para o segundo membro: 
$4a^2+x^2+4abx=-4ac$

Para completar quadrados, somamos $b^2$ em ambos os lados da igualdade:
$4a^2+x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$

Podemos perceber que no primeiro termo, formou-se (como queríamos) um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado: 
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$.

Para deixarmos a expressão de forma em que conhecemos, podemos efetuar a raiz quadrada e subtrair $b$  em ambos os lados:
$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$.

Finalmente, dividimos os termos por $2a$:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Como queríamos, demonstramos a fórmula de Bhaskara pelo método que eu julgo ser o mais conhecido.

Para a segunda demonstração usaremos um método não tão conhecido ou aplicado, mas não por isso menos elegante que os demais:

2º) Usando a mesma hipótese, tomamos um $x$ de modo que $x=u+v$ sejam as raízes da equação. Substituindo na equação:
$a(u+v)^2+b(u+v)+c=0$
$au^2+2auv+av^2+bu+bv+c=0$

Vamos resolver a equação em $v$:
$av^2+(2au+b)v+au^2+bu+c=0$


Para eliminar o coeficiente de v, faremos que 
$2au+b=0 \Rightarrow  u=\frac{-b}{2a}$

Substituindo na equação, encontramos:
$av^2+\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{2a}+c=0$

Para finalizar nossa demonstração, basta tirarmos o mínimo e simplificarmos a equação o máximo possível:

$4a^2v^2+b^2-2b^2+4ac=0$
$4a^2v^2-b^2+4ac=0$
$4a^2v^2=b^2-4ac$
$v^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$v=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Como afirmamos no início da demonstração que $x=u+v$ e encontramos que $u=\frac{-b}{2a}$ , então:
$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Assim demonstramos a Fórmula de Bhaskara pelo Método de Viète.

Ou, pelo jeito clássico: C.Q.D. (Quod erat demonstrandum).