0,99999... = 1

A ideia de que 0,99999..=1 é algo debatido diversas vezes nos meios matemáticos e, ao mesmo tempo, uma ideia que gera rejeição à primeira vista. Existem alguns modos para provar essa igualdade, mas neste post desejo usar duas provas não formais para chegar à tese e não ideias de séries ou análise.
Vamos às provas!

Na primeira prova, chamaremos a dízima de $T$, ou seja, $T=0,99999...$, dessa forma, multiplicando ambos os lados por $10$, teremos que
$$10T=9,99999...$$
Podemos reescrever essa dízima na forma de adição:
$$10T=9+0,99999...$$
Mas como $T=0,99999...$, reescrevemos:
$$10T=9+T$$
Subtraindo $T$ em ambos os lados :
$$9T=9$$
Dessa forma, $T=1$.

Como na hipótese afirmamos que $T=0,99999...$ e chegamos que $T=1$, então concluímos que $1=0,99999...$, como desejávamos provar no início.


Para a segunda prova, seguiremos por uma ideia diferente:
Tomamos inicialmente que $1/3=0,33333...$.
Ao multiplicarmos ambos os lados por $3$ chegamos que
$$3/3=0,99999...$$
Ou seja,
$$1=0,99999...$$

Como dito anteriormente, essas duas provas são informais, mas são suficientes para provarmos o que queríamos.
Podemos estender essas ideias para outras dízimas periódicas terminadas em $9$.