1=2 ?

É comum nos depararmos com algumas demonstrações que "provam" alguns absurdos matemáticos, um dos casos mais comuns é de que $1=2$. Abaixo está a tal "demonstração":

$a=b$

$a^2=ab$

$a^2-b=ab-b^2$

$(a-b).(a+b)=b.(a-b)$

$a+b=b$

$b+b=b$

$2b=b$

$2=1$

O erro dessa demonstração é sutil, trazendo muita dúvida aos leitores, mas é bem fácil de mostrar como essa "demonstração" é um absurdo. Você já identificou o erro?

Bom, o erro está na quinta linha, note que a expressão toda foi dividida (simplificada) por $(a-b)$, porém no início foi assumido que $a=b$, ou seja, $a-b=0$, logo a expressão foi dividida por $0$, o que é impossível, afinal divisão por zero é uma indeterminação matemática!
Tome cuidado com alguns cálculos que aparecem nas redes sociais, há muita gente querendo apenas difundir erros (e muitas vezes conseguem).

Por que todo número elevado a 0 é 1?

Uma das questões mais abordadas quando se está estudando potências e suas propriedades é o por quê de todo número real e diferente de zero, quando elevado a zero, tornar-se um. Geralmente os professores não explicam essa propriedade, mesmo sendo simples de demonstrar. Então vamos à demonstração!

Primeiramente tomaremos um $x$ tal que $x\in \mathbb{R}^{*}$, desse modo, sabemos que:
$$\frac{x^{1}}{x^1}=1$$
Trabalhando novamente com essa fração, podemos aplicar a propriedade de divisão de potências de mesma base, assim:
$$\frac{x^{1}}{x^1}=x^{1-1}=x^0$$
Notemos então que 
$$x^0=\frac{x^{1}}{x^1}=1$$
Concluímos assim que 
$$x^0=1$$

Como dito no início dessa demonstração, essa propriedade aplica-se para todo $x$ real desde que esse seja diferente de $0$. Mas por quê? A resposta é simples: a potência $0^0$ é uma indeterminação matemática.

0,99999... = 1

A ideia de que 0,99999..=1 é algo debatido diversas vezes nos meios matemáticos e, ao mesmo tempo, uma ideia que gera rejeição à primeira vista. Existem alguns modos para provar essa igualdade, mas neste post desejo usar duas provas não formais para chegar à tese e não ideias de séries ou análise.
Vamos às provas!

Na primeira prova, chamaremos a dízima de $T$, ou seja, $T=0,99999...$, dessa forma, multiplicando ambos os lados por $10$, teremos que
$$10T=9,99999...$$
Podemos reescrever essa dízima na forma de adição:
$$10T=9+0,99999...$$
Mas como $T=0,99999...$, reescrevemos:
$$10T=9+T$$
Subtraindo $T$ em ambos os lados :
$$9T=9$$
Dessa forma, $T=1$.

Como na hipótese afirmamos que $T=0,99999...$ e chegamos que $T=1$, então concluímos que $1=0,99999...$, como desejávamos provar no início.


Para a segunda prova, seguiremos por uma ideia diferente:
Tomamos inicialmente que $1/3=0,33333...$.
Ao multiplicarmos ambos os lados por $3$ chegamos que
$$3/3=0,99999...$$
Ou seja,
$$1=0,99999...$$

Como dito anteriormente, essas duas provas são informais, mas são suficientes para provarmos o que queríamos.
Podemos estender essas ideias para outras dízimas periódicas terminadas em $9$.