Circunferência: Posições Relativas ~ Professor Augusto Bogo

Posições relativas entre ponto e circunferência

Considere uma circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$. A equação dessa circunferência é:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Tomamos um ponto $P(x_{0},y_{0})$ qualquer do plano cartesiano. A distância de $P$ ao centro $C$ da circunferência é:
$$d=\sqrt{(x_{0}-a)^2+(y_{0}-b)^2}$$
A partir disso, se:

$d>r$ o ponto é externo à circunferência.
$d<r$ o ponto é interno à circunferência.
$d=r$ o ponto pertence à circunferência.

Posições relativas entre reta e circunferência

Considere uma reta $s$ de equação $ax+by+c=0$ e uma circunferência $\lambda$ de equação $x^2+y^2+dx+ey+f=0$.

Para identificar a posição entre $s$ e $\lambda$, podemos usar dois raciocínios diferentes.

1º modo: Comparamos a distância $d$ do centro da circunferência até a reta $s$ com o raio dela, nesse modo temos que, se:

$d<r$ a reta $s$ é secante a $\lambda$
$d=r$ a reta $s$ é tangente a $\lambda$
$d>r$ a reta $s$ é externa a $\lambda$

2º modo: Basta resolver o sistema formado pelas equações da reta e da circunferência, recaindo em uma equação do segundo grau. Assim, a posição entre $s$ e $\lambda$ é determinada pelo valor do $\Delta$. Logo, se

$\Delta>0$ a reta $s$ é secante a $\lambda$
$\Delta=0$ a reta $s$ é tangente a $\lambda$
$\Delta<0$ a reta $s$ é externa a $\lambda$

Posições relativas entre circunferências

Condiremos duas circunferências $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$ de centros $C_{1}$ e $C_{2}$ e raios $r_{1}$ e $r_{2}$, respectivamente. Sendo $d$ a distância entre os centros, temos que, se:

$d>r_{1}+r_{2}$ as circunferências são externas
$d<\left | r_{1}-r_{2} \right |$ são internas
$\left | r_{1}-r_{2} \right |<d<r_{1}+r_{2}$ as circunferências são secantes
$d=r_{1}+r_{2}$ as circunferências são tangentes exteriormente
$d=\left | r_{1}-r_{2} \right |$ as circunferências são tangentes interiormente
$d=0$ são concêntricas

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