Interseção de Conjuntos e Propriedades

A interseção de conjuntos é a criação de um novo conjunto formado por todos os elementos que pertencem a dois (ou mais) conjuntos. 
A interseção é denotada por $A \cap B$, onde $A$ e $B$ são dois subconjuntos quaisquer de um conjunto universal $U$.
Em notação lógica: $A \cap B=\left \{x \in \mathbb{R}/x \in A\ e\ x\in B  \right \}$

Sobre essa operação cabem as seguintes propriedades:

$i.$ $A \cap A = A$
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in A \cap A$, então
$A \cap A \Leftrightarrow  \left \{ x \in U / x \in \left (A\ e\ A \right ) \right \}$
           $ \Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in A \right \}$
           $ \Leftrightarrow A$

$ii.$ $A \cap B = B \cap A$ (Comutatividade)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cap B)$, então
$A \cap B \Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in (A \cap B) \right \}$
           $\Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in A\ e \ x\in B \right \}$
           $\Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in B\ e \ x\in A \right \}$
           $\Leftrightarrow B \cap A$

$iii.$ $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (Associatividade)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cap B) \cap C$, então
$(A \cap B) \cap C \Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in (A \cap B)\ e \ x \in C \right \}$

                      $ \Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in B \ e \ x \in (A \ e \ C) \right \}$
                      $ \Leftrightarrow A \cap (B \cap C)$

$iv.$ $A \cap U = A$ (Elemento Neutro)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cap U)$, então
$(A \cap U) \Leftrightarrow \left \{ x \in U / x \in (A \cap U) \right \}$

              $ \Leftrightarrow \left \{x \in U / x \in A \ e \ x \in U \right \}$

              $ \Leftrightarrow \left \{x \in U / x \in A \right \}$

              $ \Leftrightarrow A$

$v.$ $A \cap \varnothing = \varnothing$ (Elemento Absorvente)

Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cap \varnothing)$, então

$(A \cap \varnothing) \Leftrightarrow \left \{x \in U / x \in (A \cap \varnothing)  \right \}$

               $ \Leftrightarrow \left \{x \in U / x \in A \ e \ x \in \varnothing \right \}$

               $ \Leftrightarrow \left \{x \in U / x \in \varnothing \right \}$

               $ \Leftrightarrow \varnothing$