Equações Cartesianas da Reta

Qualquer reta $r$ de um plano cartesiano pode ser obtida a partir de um ponto $A(x_{A},y_{A})$ qualquer e o seu coeficiente angular $m$, desde que $m \neq 0$.

Demonstração: Considere uma reta $r$ (que não seja paralela ao eixo $x$) de coeficiente angular $m$ e que passe por um ponto $A(x_{A},y_{A})$. Para obter essa equação, tomaremos um ponto $P(x,y)$ que seja diferente do ponto $A$.

Fonte: InfoEscola

Através da Trigonometria em triângulo retângulo temos que:

$tg\alpha = \frac{sen\alpha}{cos\alpha}$

Ou seja,

$m=\frac{y-y_{A}}{x-x_{A}}$

Multiplicando ambos os lados da equação por $(x-x_{A})$, obtemos:

$(x-x_{A}).m=(y-y_{A})$

Ou melhor:

$(y-y_{A})=m.(x-x_{A})$

Essa equação é chamada de equação fundamental da reta.

Equação Reduzida da Reta

Tomando um ponto $Q(0,q)$, com $q \neq 0$ e substituindo na equação fundamental, temos:

$(y-q)=m.(x-0)$

$y-q=m.x$

$y=m.x+q$

Nessa equação, o $m$ é chamado de coeficiente angular e $q$ coeficiente linear.

Equação Geral da Reta

Podemos determinar a equação geral da reta se conhecermos dois pontos quaisquer e diferentes que pertençam a reta. Tomamos $A(x_{A},y_{A})$ e $B(x_{B},y_{B})$ não coincidentes. Substituindo esses pontos na equação fundamental, obtemos:

$ax+by+c=0$

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