Teorema de Cauchy

Se $f,g: I = [a,b] \subset  R \to R$ são funções contínuas em $I$ e diferenciáveis em $]a,b[$ e, se para todo $x \in ]a,b[, g'(x) \neq 0$, então existe pelo menos um ponto $c \in ]a,b[$ tal que:
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$

Demonstração: Tomando uma função auxiliar $H(x)$, tal que:
$$H(x)=f(x)-f(a)- \left [ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \right ]\left [ g(x) - g(a) \right ]$$
Esta função verifica as condições do Teorema de Rolle no intervalo $I$, pois além de ser contínua no intervalo $I$ e diferenciável em $]a,b[$, temos também que:
$$H(a)=H(b)=0$$
Assim podemos garantir que existe um ponto $c \in ]a,b[$ de modo que:
$$H'(c)=0$$
Como 
$$H'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.g'(c)$$
Então
$$H'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.g'(c) = 0$$
Podendo concluir que existe o ponto $c \in ]a,b[$ tal que:
$$ \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$