1+3+5+7+...=n²

Para todos os números naturais $n$, com $n\geqslant 1$, temos que:
$$1+3+5+...+(2n-1) = n^2$$
Prova: Para provar, por indução, temos que relembrar as duas propriedades que devem ser satisfeitas:
          $i.$ $1 \in S$
          $ii.$ Se $m \in S$, então $n+1 \in S$

A primeira propriedade é satisfeita, pois para $n=1$, temos que $1=1^2$, logo o passo base é verdadeiro.
Como é verdade para $n=1$, então deve ser verdadeira para $n=k+1$ (com $k \in S$, $k \geqslant 1$). 

Devemos mostrar que:
$$1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = (k+1)^2, k \geqslant 1$$
Sabemos que:
$$1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) =k^2+2k+1 = (k+1)^2$$

Logo, provamos o que queríamos.