$$\sum_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...$$
E trata-se de uma série divergente, mas não de forma trivial, pois seu crescimento até o infinito ocorre de forma lenta.
Demonstração:
Para esta série é conveniente considerar as somas parciais $s_{2}$, $s_{4}$, $s_{8}$, $s_{16}$, $s_{32}$, ... e demonstrar que elas se tornam grandes.
$s_{1}=1$
$s_{2}=1+\frac{1}{2}$
$s_{4}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=1+\frac{2}{2}$
$s_{8}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+1+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{3}{2}$
$s_{16}=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+...+\frac{1}{8})+(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{16})>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+1+(\frac{1}{8}+...+\frac{1}{8})+(\frac{1}{16}+...+\frac{1}{16})=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{4}{2}$
Analogamente, $s_{32}>1+\frac{5}{2}$, $s_{64}>1+\frac{6}{2}$ e, em geral:
$s_{2^{n}}>1+\frac{n}{2}$
Isso mostra que $s_{2^{n}} \rightarrow \infty$ quanto $n \rightarrow \infty$ e assim $s_{n}$ é divergente. Portanto a série harmônica diverge.
$\blacksquare$
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