2017/2 - Questão de Probabilidade

Questão 08
Considere a função $f(x)=cos(x)+ \sqrt{3}sen(x)$ e analise as proposições.
     I. $f(x)=2sen(x+a)$ para algum $a \in [0,\frac{\pi}{2}]$
     II. $f$ possui uma raiz no intervalo $[0,\frac{\pi}{2}]$
     III. $f$ tem período $\pi$

Assinale a alternativa correta.

     a. Somente a proposição II é verdadeira.
     b. Somente as proposições I e II são verdadeiras.
     c. Somente as proposições II e III são verdadeiras.
     d. Somente a proposição III é verdadeira.
  $\times$e. Somente a proposição I é verdadeira.


Resolução: A melhor forma de reescrever a função é colocar a constante $2$ em evidência, pois dessa forma:
$f(x)=cos(x)+ \sqrt{3}sen(x)$
$f(x)=2.\left ( \frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}senx \right )$
$f(x)=2.(sen30º.cosx+senx.cos30º)$
$f(x)=2.(sen(x+30º))$

Assim, podemos analisar as proposições:
I. Verdadeira. Para $a=30º$.
II. Falsa. Pois a raiz é $x=-30º$, que não pertence ao intervalo.
III. Falsa. Pois $P=\frac{2\pi}{m}=\frac{2\pi}{1}=2\pi$