Derivada Parcial

Uma derivada parcial de uma função de várias variáveis é a sua derivada com respeito a uma daquelas variáveis, ou seja, se $f$ é uma função de duas variáveis ($x$ e $y$), suponha que deixemos somente $x$ variar enquanto mantemos fixo o valor de $y$.

Definição: Se $f$ é uma função três variáveis, suas derivadas parciais são as funções $f_{x}$, $f_{y}$ e $f_{z}$ e definidas por:

$f_{x}(x,y,z)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}$

$f_{y}(x,y,z)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x,y+h,z)-f(x,y,z)}{h}$

$f_{z}(x,y,z)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x,y,z+h)-f(x,y,z)}{h}$

Notação: Tomando uma função $w=f(x,y,z)$, escrevemos:

$f_{x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial x}=D_{x}f$

$f_{y}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial w}{\partial y}=D_{y}f$

$f_{z}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial z}=D_{z}f$

Como no caso das derivadas simples, as parciais podem ser interpretadas como taxas de variação. Se $w=f(x,y,z)$, então $\frac{\partial w}{\partial x}$  representa a taxa de variação de $w$ com relação a $x$, enquanto $y$ e $z$ são mantidos fixos.