Matriz Jacobiana

A Matriz Jacobiana (em homenagem ao matemático alemão Carl Jacobi) é uma matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. 


Definição Formal
Seja $F:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$, com $F(X)=\left ( f_{1}(X), ... f_{n}(X) \right )$, a representação matricial da derivada, quando existe, é denominada matriz Jacobiana e definida como sendo
$$JF\left ( x_{1}, ... , x_{n} \right ) = \begin{bmatrix} f_{1}\\  ...\\  f_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & ... & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}} \\  \vdots & \ddots  & \vdots \\ \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} & ... & \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{m}} \end{bmatrix} $$
Quando $m=n$, a matriz é quadrada e seu determinante é denominado de função Jacobiana ou simplesmente Jacobiana e é de grande importância para mudança de variáveis em integrais múltiplas (veja Duplas e Triplas) e no Teorema da Função Inversa.


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