Professor Augusto Bogo: Binômio de Newton

Binômio de Newton é o procedimento em que é possível escrever na forma completa uma expressão dada em um binômio elevada a n-ésima potência. Apesar do nome, esse procedimento não foi desenvolvido por Newton, ele, na verdade, trabalhou com expoentes fracionários ou negativos e não na forma em que estudamos aqui.

O teorema é dado a partir da fórmula:

{\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}x^{{n-k}}y^{k}

aonde n e k são coeficientes tais que:

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},

Uma forma simples para calcular os coeficientes binominais é a partir do Triângulo de Pascal, que inicia do zero e vai crescendo linearmente. Nesse triângulo o n é o número da linha e k é o número da coluna.

{\begin{matrix}{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}}&{\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}}\end{matrix}}

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Binômio de Newton

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