Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

Toda função racional pode ser representada na forma de uma razão racional, isto é, como a razão de dois polinômios da forma
$$f(x)=\frac{p(x))}{q(x)}=\frac{p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_mx^m}{q_0+q_1x+q_2x^2+...+q_nx^n}.$$
Se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador a fração é dita própria, do contrário é dita imprópria.
No caso das impróprias, ao dividir o numerador pelo denominador, segundo divisão de polinômios
$$p(x)=q(x).Q(x)+R(x)$$
podemos reescrever a função $f(x)$ como
$$f(x)=Q(x)+\frac{R(x)}{q(x)}$$
onde $Q(x)$ é um polinômio e $\frac{R(x)}{q(x)}$ é uma fração própria.
Como a primeira parcela é um polinômio, integrá-lo é uma tarefa simples. Vejamos o caso da segunda parcela, que é uma fração própria, conforme os métodos que serão apresentados abaixo.

1º Caso: O fatores de $q(x)$ são todos lineares e distintos.
Neste caso, podemos escrever $q(x)$ da forma
$$q(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$$
onde os $a_i$, com $i=1,2,...,n$ são números reais distintos.
A função racional $F(x)=\frac{R(x)}{qx}$ pode ser decomposta em frações mais simples, da forma:
$$F(x)=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+...+\frac{A_n}{x-a_n}$$
onde $A_i$ com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
É comum dizer, neste caso, que estas frações racionais possuem o denominador com raízes reais e simples.

2º Caso: Os fatores de $q(x)$ são todos lineares e alguns se repetem.
Admitindo que $(x-a_1)$ seja um fator que se repete $r$ vezes, correspondente a este fator, existe a soma de $r$ frações parciais do tipo:
$$\frac{A_1}{(x-a_1)^r}+\frac{A_2}{(x-a_2)^(r-1)}+...+\frac{A_r}{x-a_1}$$
onde $A_1$, com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
Neste caso dizemos que as frações parciais possuem denominadores com raízes reais múltiplas.

3º Caso: Os fatores $q(x)$ são lineares e quadráticos e os fatores quadráticos não se repetem.
A fração parcial correspondente a cada fator quadrático $ax^2+bx+c$ no denominador é da forma
$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$
onde, o fator quadrático não pode ser decomposto num produto de fatores lineares. Do contrário teríamos os casos anteriores.

4º Caso: Os fatores de $q(x)$ são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem.
Se o fator quadrático $ax^2+bx+c$ se repete $r$ vezes, então, correspondente a este fator teremos uma soma das $r$ seguintes frações parciais:
$$\frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)^r}+\frac{A_2x+B+2}{(ax^2+bx+c)^(r-1)}+...+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)}$$
onde $A_i$ e $B_i$ , com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
O fator quadrático $ax^2+bx+c$ não pode ser decomposto num produto de fatores lineares


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