O cálculo da integral definida nos proporciona o conhecimento das áreas formadas pelas interseções das funções, bem como o volume de um sólido quando rotacionamento essa área em torno de um eixo (podendo ser os eixos $x$ e $y$, bem como um eixo qualquer, por exemplo, se tomarmos como rotação o eixo $x=2$).
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$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$
Essa desigualdade é interessante de ser refutada e faremos isso de forma fácil: por contradição, pois se acharmos pelo menos um exemplo em que a igualdade não funcione, podemos afirmar que as integrais são diferentes.
Primeiramente, tomaremos duas funções:
$f(x)=senx$ e $g(x)=cosx$
$(1)$ $\int senxcosx dx$
Por uma identidade trigonométricas temos que:
$$senxcosx = \frac{1}{2}sen2x$$
Logo:
$$\int sen2x dx = \frac{1}{2} \int sen2x dx$ = - \frac{1}{4}cos2x + c$$
$(2)$ $\int senxdx \int cosxdx$
$=(senx+c_{2}).(-cosx+c_{3})$
$=-senxcosx+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$
$=-\frac{1}{2}sen2x+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$
$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$.
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
Toda função racional pode ser representada na forma de uma razão racional, isto é, como a razão de dois polinômios da forma
$$f(x)=\frac{p(x))}{q(x)}=\frac{p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_mx^m}{q_0+q_1x+q_2x^2+...+q_nx^n}.$$
Se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador a fração é dita própria, do contrário é dita imprópria.
No caso das impróprias, ao dividir o numerador pelo denominador, segundo divisão de polinômios
$$p(x)=q(x).Q(x)+R(x)$$
podemos reescrever a função $f(x)$ como
$$f(x)=Q(x)+\frac{R(x)}{q(x)}$$
onde $Q(x)$ é um polinômio e $\frac{R(x)}{q(x)}$ é uma fração própria.
Como a primeira parcela é um polinômio, integrá-lo é uma tarefa simples. Vejamos o caso da segunda parcela, que é uma fração própria, conforme os métodos que serão apresentados abaixo.
1º Caso: O fatores de $q(x)$ são todos lineares e distintos.
Neste caso, podemos escrever $q(x)$ da forma
$$q(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$$
onde os $a_i$, com $i=1,2,...,n$ são números reais distintos.
A função racional $F(x)=\frac{R(x)}{qx}$ pode ser decomposta em frações mais simples, da forma:
$$F(x)=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+...+\frac{A_n}{x-a_n}$$
onde $A_i$ com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
É comum dizer, neste caso, que estas frações racionais possuem o denominador com raízes reais e simples.
2º Caso: Os fatores de $q(x)$ são todos lineares e alguns se repetem.
Admitindo que $(x-a_1)$ seja um fator que se repete $r$ vezes, correspondente a este fator, existe a soma de $r$ frações parciais do tipo:
$$\frac{A_1}{(x-a_1)^r}+\frac{A_2}{(x-a_2)^(r-1)}+...+\frac{A_r}{x-a_1}$$
onde $A_1$, com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
Neste caso dizemos que as frações parciais possuem denominadores com raízes reais múltiplas.
3º Caso: Os fatores $q(x)$ são lineares e quadráticos e os fatores quadráticos não se repetem.
A fração parcial correspondente a cada fator quadrático $ax^2+bx+c$ no denominador é da forma
$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$
onde, o fator quadrático não pode ser decomposto num produto de fatores lineares. Do contrário teríamos os casos anteriores.
4º Caso: Os fatores de $q(x)$ são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem.
Se o fator quadrático $ax^2+bx+c$ se repete $r$ vezes, então, correspondente a este fator teremos uma soma das $r$ seguintes frações parciais:
$$\frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)^r}+\frac{A_2x+B+2}{(ax^2+bx+c)^(r-1)}+...+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)}$$
onde $A_i$ e $B_i$ , com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
O fator quadrático $ax^2+bx+c$ não pode ser decomposto num produto de fatores lineares
.
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$$f(x)=\frac{p(x))}{q(x)}=\frac{p_0+p_1x+p_2x^2+...+p_mx^m}{q_0+q_1x+q_2x^2+...+q_nx^n}.$$
Se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador a fração é dita própria, do contrário é dita imprópria.
No caso das impróprias, ao dividir o numerador pelo denominador, segundo divisão de polinômios
$$p(x)=q(x).Q(x)+R(x)$$
podemos reescrever a função $f(x)$ como
$$f(x)=Q(x)+\frac{R(x)}{q(x)}$$
onde $Q(x)$ é um polinômio e $\frac{R(x)}{q(x)}$ é uma fração própria.
Como a primeira parcela é um polinômio, integrá-lo é uma tarefa simples. Vejamos o caso da segunda parcela, que é uma fração própria, conforme os métodos que serão apresentados abaixo.
1º Caso: O fatores de $q(x)$ são todos lineares e distintos.
Neste caso, podemos escrever $q(x)$ da forma
$$q(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)$$
onde os $a_i$, com $i=1,2,...,n$ são números reais distintos.
A função racional $F(x)=\frac{R(x)}{qx}$ pode ser decomposta em frações mais simples, da forma:
$$F(x)=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+...+\frac{A_n}{x-a_n}$$
onde $A_i$ com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
É comum dizer, neste caso, que estas frações racionais possuem o denominador com raízes reais e simples.
2º Caso: Os fatores de $q(x)$ são todos lineares e alguns se repetem.
Admitindo que $(x-a_1)$ seja um fator que se repete $r$ vezes, correspondente a este fator, existe a soma de $r$ frações parciais do tipo:
$$\frac{A_1}{(x-a_1)^r}+\frac{A_2}{(x-a_2)^(r-1)}+...+\frac{A_r}{x-a_1}$$
onde $A_1$, com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
Neste caso dizemos que as frações parciais possuem denominadores com raízes reais múltiplas.
3º Caso: Os fatores $q(x)$ são lineares e quadráticos e os fatores quadráticos não se repetem.
A fração parcial correspondente a cada fator quadrático $ax^2+bx+c$ no denominador é da forma
$$\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$
onde, o fator quadrático não pode ser decomposto num produto de fatores lineares. Do contrário teríamos os casos anteriores.
4º Caso: Os fatores de $q(x)$ são lineares e quadráticos e alguns fatores quadráticos se repetem.
Se o fator quadrático $ax^2+bx+c$ se repete $r$ vezes, então, correspondente a este fator teremos uma soma das $r$ seguintes frações parciais:
$$\frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)^r}+\frac{A_2x+B+2}{(ax^2+bx+c)^(r-1)}+...+\frac{A_rx+B_r}{(ax^2+bx+c)}$$
onde $A_i$ e $B_i$ , com $i=1,2,...,n$ são constantes a serem determinadas.
O fator quadrático $ax^2+bx+c$ não pode ser decomposto num produto de fatores lineares
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Integral Indefinida por Partes
O método da integração por partes é uma consequência da regra do produto para as derivadas.
Este método estabelece que:
$$\int u(x)dv=u(x)v(x)-\int v(x)du$$
Demonstração: Dada uma integral do tipo $\int f(x)g(x)dx$, onde $u=f(x)$ e $v=g(x)$ são duas funções integráveis, então:
$$\frac{d}{dx}[u.v]=u.\frac{dv}{dx}+v.\frac{du}{dx}$$
$$\Rightarrow \int \frac{d}{dx}[u.v] = \int u.\frac{dv}{dx}dx+\int v.\frac{du}{dx}dx$$
$$\Rightarrow u.v = \int u.dv + \int v.du$$
$$\Rightarrow \int u(x)dv = u(x)v(x) - \int v(x)du$$
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Este método estabelece que:
$$\int u(x)dv=u(x)v(x)-\int v(x)du$$
Demonstração: Dada uma integral do tipo $\int f(x)g(x)dx$, onde $u=f(x)$ e $v=g(x)$ são duas funções integráveis, então:
$$\frac{d}{dx}[u.v]=u.\frac{dv}{dx}+v.\frac{du}{dx}$$
$$\Rightarrow \int \frac{d}{dx}[u.v] = \int u.\frac{dv}{dx}dx+\int v.\frac{du}{dx}dx$$
$$\Rightarrow u.v = \int u.dv + \int v.du$$
$$\Rightarrow \int u(x)dv = u(x)v(x) - \int v(x)du$$
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Integral Indefinida por Substituição
Seja F uma primitiva de f num intervalo I e g uma função derivável tal que Fog esteja definida.
Usando a regra da cadeia temos que $\left ( F\left ( g\left ( x \right ) \right ) \right )'=F'(g(x)).g'(x)$.
Logo $F(g(x))$ é uma primitiva de $f(g(x)).g'(x)$, desse modo:
$$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$$
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Usando a regra da cadeia temos que $\left ( F\left ( g\left ( x \right ) \right ) \right )'=F'(g(x)).g'(x)$.
Logo $F(g(x))$ é uma primitiva de $f(g(x)).g'(x)$, desse modo:
$$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$$
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