$\int_{\gamma}Pdx+Qdy=\iint_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA$
$\int_{\gamma}Pdx = -\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} dA$
$D={(x.y)\in\mathbb{R}^{2}/a\leqslant x\leqslant b,g_{1}(x)\leqslant y\leqslant g_{2}(x)}$
onde $g_{1}$ e $g_{2}$ são funções contínuas.
Por um lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que
$\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dA = \int_{a}^{b}\left [ P(x,g_2(x))-P(x,g_1(x)) \right ]dx$
Podemos escrever o primeiro caminho como
$r_{1}(x)=xi+g_{1}(x)j$ com $a\leqslant x\leqslant b$.
Logo
$\int_{\gamma_{1}}Pdx = \int_{a}^{b}P(x,g_{1}(x))dx$
De um modo similar, podemos escrever $-\gamma_{1}$ pode ser escrita como
$r_{3}(x)=xi+g_{2}(x)j$ com $a\leqslant x\leqslant b$.
Assim,
$\int_{\gamma_{3}}Pdx = -\int_{\gamma_{3}}Pdx = - \int_{a}^{b}P(x,g_{2}(x))dx$.
Finalmente, sobre $\gamma_{2}$ e $\gamma_{4}$, $x$ é constante e, portanto, dx=0, ou seja,
$$\int_{\gamma_{2}}Pdx=\int_{\gamma_{4}}=0$$.
Concluindo:
$\int_{\gamma} Pdx = \int_{\gamma_{1}}Pdx + \int_{\gamma_{1}}Pdx + \int_{\gamma_{3}}Pdx + \int_{\gamma_{4}}Pdx$
$= \int_{a}^{b}P(x,g_{1}(x))dx - \int_{a}^{b}P(x,g_{2}(x))dx$
$= - \int_{a}^{b}\left [ P(x,g_{2}(x)) - P(x,g_{1}(x)) \right ]dx$
$= \int_{a}^{b}\int_{g_{1}}^{g_{2}} \frac{\partial P}{\partial y}dydx$
$= \iint_{\gamma} \frac{\partial P}{\partial y}dA$.
De forma análoga temos que
$\int_{\gamma}Qdy = \iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}dA$.
Finalmente,
$\int_{\gamma}Pdx+Qdy = \iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA$.
Nesta demonstração foram assumidas regiões simples, porém tal Teorema pode ser estendida para finitas uniões de regiões simples e também para regiões com furos.
