Teorema de Green

Seja $\gamma$ uma curva simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente e seja $D$ uma região delimitada por $\gamma$. Se $P$ e $Q$ tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contém $D$, então

$\int_{\gamma}Pdx+Qdy=\iint_{D}\left ( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA$

Demonstração: Primeiramente mostraremos que 

$\int_{\gamma}Pdx = -\iint_{D} \frac{\partial P}{\partial y} dA$

Para isso, suponhamos que a região D pode ser escrita como
$D={(x.y)\in\mathbb{R}^{2}/a\leqslant x\leqslant b,g_{1}(x)\leqslant y\leqslant g_{2}(x)}$
onde $g_{1}$ e $g_{2}$ são funções contínuas.

Por um lado, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que

$\iint_{D}\frac{\partial P}{\partial y}dA =  \int_{a}^{b}\left [ P(x,g_2(x))-P(x,g_1(x)) \right ]dx$

Por outro lado, podemos escrever a fronteira $\gamma$  de D como a união dos caminhos $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$, $\gamma_{3}$ e $\gamma_{4}$.
Podemos escrever o primeiro caminho como 

$r_{1}(x)=xi+g_{1}(x)j$ com $a\leqslant x\leqslant b$.

Logo

$\int_{\gamma_{1}}Pdx = \int_{a}^{b}P(x,g_{1}(x))dx$

De um modo similar, podemos escrever $-\gamma_{1}$ pode ser escrita como 

$r_{3}(x)=xi+g_{2}(x)j$ com $a\leqslant x\leqslant b$.

Assim,

$\int_{\gamma_{3}}Pdx = -\int_{\gamma_{3}}Pdx = - \int_{a}^{b}P(x,g_{2}(x))dx$.

Finalmente, sobre $\gamma_{2}$ e $\gamma_{4}$, $x$ é constante e, portanto, dx=0, ou seja,
$$\int_{\gamma_{2}}Pdx=\int_{\gamma_{4}}=0$$.

Concluindo:

$\int_{\gamma} Pdx = \int_{\gamma_{1}}Pdx + \int_{\gamma_{1}}Pdx + \int_{\gamma_{3}}Pdx + \int_{\gamma_{4}}Pdx$

         $=  \int_{a}^{b}P(x,g_{1}(x))dx - \int_{a}^{b}P(x,g_{2}(x))dx$

      $= - \int_{a}^{b}\left [ P(x,g_{2}(x)) - P(x,g_{1}(x)) \right ]dx$

                   $= \int_{a}^{b}\int_{g_{1}}^{g_{2}} \frac{\partial P}{\partial y}dydx$ 

                   $= \iint_{\gamma} \frac{\partial P}{\partial y}dA$.

De forma análoga temos que

$\int_{\gamma}Qdy = \iint_{D}\frac{\partial Q}{\partial x}dA$.

Finalmente, 

$\int_{\gamma}Pdx+Qdy = \iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA$.

Nesta demonstração foram assumidas regiões simples, porém tal Teorema pode ser estendida para finitas uniões de regiões simples e também para regiões com furos.

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