Demonstração: Para essa demonstração, usaremos o princípio de indução sobre $a\geq2$.
Para $P(2)$ é verdade, afinal existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio um primo.
Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro b, ou seja, que $P(b)$ seja verdadeira, $\forall 2\leq b< a$. Como $a>2$, existe um número primo $p_1$ tal que $p_1\mid a$, ou seja, existe $q\in\mathbb{Z}$ tal que $a=p_1q$. Se $q=1$ ou $q$ é primo, então $P(b)$ é verdadeira, caso contrário $2\leq q< a$ . Pela hipótese de indução, existem $p_2,p_3,...,p_r$ primos maiores que zero tais que:
$$q=p_2...p_r$$
Assim $a=p_1.q=p_1.p_2...p_r$, provando que $a$ pode ser escrito como $r$ produto de primos. Resta provar a unicidade.
Suponhamos agora que
$$a=p_1.p_2...p_r$$ e $$a=q_1.q_2...q_s$$
Como $p_1 \mid q_1.q_2...q_s$, então $p_1 \mid q_i$, para algum $i$, $1 \leq i \leq r$, sem perda de generalidade, podemos supor que $i=1$.Daí $p_1 \mid q_1$ e como $q_1$ é primo, devemos ter $p_1=q_1$.
Temos também que
$$p_1.p_2...p_r=p_1.q_2...q_s$$
Como $p_1 \neq 0$, simplificando, obtermos que $p_2...p_r=q_2...q_s$. Repetindo esse processo chegaremos que $r=s$, ou seja, $p_1=q_1$. $p_2=q_2$ ... $p_r=q_r$.
$\blacksquare $
