Elipse

Definição: Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos dados é constante. Os dois pontos são chamados de focos da elipse.

Demonstração da fórmula: Suponha, inicialmente, que os dois pontos $F_1$ e $F_2$ são dados tal que $F_1=(-c,0)$ e $F_2=(c,0)$, a soma das distâncias seja uma constante $2a$ e um ponto qualquer da elipse seja dado por  $X=(x,y)$. Suponha que $2a>2c$. Temos que $|XF_1| + |XF_2|=2a$. Então:

                   $\sqrt{(x-(-c))^2+y^2}+\sqrt{(x-(c))^2+y^2}=2a$
ou ainda
                   $\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-(c))^2+y^2}$

Elevando ao quadrado obtemos
                           $(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$

Simplificando obtemos:

                           $a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2-cx$

Elevando novamente ao quadrado e simplificando:

                           $x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$

Finalmente, fazendo que $a^2-c^2=b^2$ e dividindo ambos os membros por $a^2b^2$, temos a equação da elipse:

                                            $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$