Integral de Linha

As integrais de linha assemelham-se com as outras integrais já vistas no cálculo I e II (A e B), a diferença é que ao invés de se calculada em um intervalo $[a,b]$, é calculada ao longo de uma curva $C$. 

Essas integrais são encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula em um movimento de um ponto $A$ a um ponto $B$ no plano. Também pode ser usada para determinar o trabalho e o calor desenvolvido numa transformação qualquer.

Para o cálculo é necessário conhecer a equação da curva $C$, a qual pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica. Sua formulação é $\int f(x,y,z)ds$.
Notemos (figura 1), antes da definição, que o $ds$ é a hipotenusa do triângulo formado por $dx$ e $dy$, ou seja, 
$$ds= \sqrt{dx^2+dy^2}$$

(Figura 1)

(Imagem: Unesp)

Temos dois casos a serem considerados:

1º Caso: A curva $C$ é de uma função na forma $y=g(x)$. Neste caso temos que:

$y=f(x) \Rightarrow dy=f'(x)dx$

                 $\Rightarrow ds=\sqrt{(dx)^2+(f'(x))^2(dx)^2}$

                 $\Rightarrow ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

Portanto: $\int_{C}f(x,y,z)ds=\int_{a}^{b}f(x,g(x))\sqrt{1+g'(x))^2}dx$.

2º Caso: A curva C é dada na forma paramétrica.

Neste caso temos que: $dx=x'(t)dt$ e $dy=y'(t)dt$

Ou seja, 

$ds=\sqrt{(x'(t))^2(dt)^2+(y'(t))^2(dt)^2}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$

Logo,

$\int_{C}f(x,y,z)ds= \int_{a}^{b}f(x(t),y(t)) \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt$


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