A união de conjuntos, como o próprio nome sugere, é a criação de um novo conjunto com a união de todos os elementos de dois (ou mais) conjuntos. A união é denotada por $A \cup B$, aonde $A$ e $B$ são dois subconjuntos quaisquer de um conjunto universal $U$.
Em notação lógica: $A \cup B = \left \{x \in U / x \in A \: ou \: x \in B \right \}$.
Acerca desta operação cabem as seguintes propriedades:
$i.$ $A \cup A = A$ (Idempotência)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in A \cup A$, então
$A \cup A$ $\Leftrightarrow$ $(x \in U / x \in (A \: ou A))$
$\Leftrightarrow$ $(x \in U / x \in A)$
$\Leftrightarrow A$
$ii.$ $A \cup B = B \cup A$ (Comutatividade)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in A \cup B$, então
$A \cup B$ $\Leftrightarrow (x \in U / x \in (A \cup B))$
$\Leftrightarrow (x \in U / x \in A \: ou \: x \in B)$
$\Leftrightarrow $ $(x \in U / x \in B \: ou \: x \in A)$
$\Leftrightarrow $ $B \cup A$.
$iii.$ $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $ (Associatividade)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$, então
$(A \cup B) \cup C \Leftrightarrow (x \in U/ (x \in A \: ou \: x \in B) \: ou \: x \in C)$
$\Leftrightarrow (x \in U/ x \in A \: ou \: (x \in B \: ou \: x \in C)$
$\Leftrightarrow A \cup (B \cup C)$
$iv.$ $A \cup \varnothing = A$ (Elemento neutro)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cup \varnothing)$, então
$A \cup \varnothing$ $\Leftrightarrow (x \in U / x \in (A \cup \varnothing))$
$\Leftrightarrow (x \in U / x \in A \: ou \: x \in \varnothing)$
$\Leftrightarrow (x \in U / x \in A)$
$\Leftrightarrow A$
$v.$ $A \cup U = U$ (Elemento absorvente)
Demonstração: Seja $x$ tal que $x \in (A \cup U)$, então
$A \cup U$ $\Leftrightarrow (x \in U/ x \in (A \cup U))$
$\Leftrightarrow (x \in U/ x \in A \: ou \: x \in U)$
$\Leftrightarrow (x \in U/ x \in U)$
$\Leftrightarrow U$
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