Números Perfeitos e Amigáveis

É de conhecimento histórico que os primeiros passos no sentido do desenvolvimento da teoria dos números e, ao mesmo tempo, do lançamento das bases do futuro misticismo numérico, foram dados por Pitágoras e seus seguidores. Um dos primeiros registros históricos que concretizam esse fato é creditado a Jâmblico, um filósofo neoplatônico que viveu por volta de $320$d.C. e que atribuiu a Pitágoras a descoberta dos números amigáveis. 

Dois números são chamados de amigáveis se cada um deles é a soma de todos os divisores do outro. Por exemplos, os números $220$ e $284$ são amigáveis, pois a soma de todos os divisores de $220$ resulta em $284$, já a soma de todos os divisores de $284$ resulta em $220$. O misticismo nesses números alcançou tamanha fama que rezava lenda e superstição de que dois talismãs com esses números selariam uma amizade eterna. Atualmente, todos os números amigos abaixo de um bilhão são conhecidos.
Além dos amigáveis, se atribuem aos Pitagóricos os números perfeitos, deficientes e abundantes. 

Um número perfeito é todo número em que a soma dos seus divisores resulta no próprio número. Um exemplo é o número $6$, em que os divisores somados $(1+2+3)$ resultam em $6$.  Euclides, no nono livro dos Elementos, prova que se $2^n-1$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^n-1)$ é um número perfeito.
Para essa fórmula de Euclides, podemos tomar $n=3$ como exemplo:

Para $n=3$, temos que $2^2(2^3-1)=28$, sendo $28$ um número perfeito.

Esta fórmula euclidiana permite encontrarmos apenas números pares e Euler provou que todo número perfeito tem essa forma. A existência (ou não) de número perfeitos ímpares é uma das questões em aberto da Teoria dos Números.

Referências
Eves, Howard. Introdução à história da matemática. Editora da Unicamp, 2004.