O Princípio da Indução

Seja $S$ um conjunto de números naturais, ou seja, $S\subseteq \mathbb{N}$ que satisfaça às propriedades: 

          $i.$ $1 \in S$
          $ii.$ Se $m \in S$, então $n+1 \in S$

Então $S=\mathbb{N}$ é o conjunto de todos os números naturais.

Demonstração: Vamos supor que $S \neq \mathbb{N}$, então existirá outro conjunto $P$, de modo que $P=\mathbb{N}$, assim $S \neq \varnothing$. Pelo princípio da indução existe um $m \in P$ de modo que $m \leqslant  n$, $\vee n \in P$. Como $1 \in S$ pela primeira propriedade, então $1 \notin P$. Assim concluimos que $n=m-1 \in S$. Pela segunda propriedade temos, porém, que $m=n+1 \in S$, de onde encontramos um absurdo, no qual $m \in P \cap S = \varnothing$. Isto mostra que $P \neq \varnothing$ é impossível, assim $P = \varnothing$ e $S = \mathbb{N}$.