Gradiente

O gradiente é um vetor que indica o sentido e a direção na qual obtém-se o maior incremento possível.
Se $f$ é uma função escalar de duas ou mais variáveis, de forma geral de $f$ é dado por:
$$\bigtriangledown f=(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, ... , \frac{\partial f}{\partial x_{n}})$$
No espaço $R^{3}$ temos que o gradiente de $f$ é dado por:
$$\bigtriangledown f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)i+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)j+\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)k$$
Propriedades

1. $\bigtriangledown (kf) = k \bigtriangledown f$
2. $\bigtriangledown (f+g) = \bigtriangledown f + \bigtriangledown g$
3. $\bigtriangledown (f-g) = \bigtriangledown f - \bigtriangledown g$
4. $\bigtriangledown (fg) = f \bigtriangledown g + g \bigtriangledown f$
5. $\bigtriangledown (\frac{f}{g}) = \frac{g \bigtriangledown f - f \bigtriangledown g}{g^{2}}$

Derivada Direcional

A derivada direcional é um escalar que representa a derivada de um campo ao longo de um versor (aqui chamado de $\mu$). 
$$D_{\mu}f=\mu.\bigtriangledown f$$
Propriedades
Sabemos que: $D_{\mu}f=\mu.\bigtriangledown f=\left | \ \bigtriangledown  f \right |.cos\theta$

1. $f$ aumenta mais rapidamente quando $\theta=0$, isto é, quando $\bigtriangledown  f$ e $\mu$ tem a mesma direção e o mesmo sentido.
2. $f$ diminui mais rapidamente quando $\theta=-1$, isto é, quando $\bigtriangledown  f$ e $\mu$ tem a mesma direção e sentido contrário.
3. Se $\mu$ é ortogonal a  $\bigtriangledown  f$ há uma direção de variação nula.

Baixe aqui a sua lista de exercícios - download
E aqui você pode consultar uma lista de exercícios retirados do livro Cálculo B (autoras: Mirian Buss Gonçalves e Diva Marília Flemming), disponibilizado pela Professor Edilaine (Unesp).