Inclusão

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, diz-se que $A$ está contido em $B$ se e somente se qualquer elemento de $A$ for também elemento de $B$ e $A=B$. Sua notação é $A\subseteq B$.
Em notação lógica:

$A\subseteq B \Leftrightarrow \left (\forall x \right ) \left ( x \in A \rightarrow x \in B \right )$

Propriedades

Sejam $A$, $B$ e $C$ conjuntos, então são válidas as seguintes propriedades:

i. $\varnothing \subseteq A$

Demonstração: Pela definição de inclusão temos que $\left (\forall x \right ) \left ( x \in A \rightarrow x \in B \right )$.
Como a primeira proposição é falsa (vide Teorema do Conjunto Vazio), então a implicação é verdadeira.


ii. $A \subseteq A$ (Reflexividade)

Demonstração: Pela definição de inclusão temos que $\left (\forall x \right ) \left ( x \in A \rightarrow x \in A \right )$, já que $x \in A$ é uma proposição verdadeira, então a implicação é verdadeira.


iii. Se $A \subseteq B$ e $B \subseteq C$, então $A \subseteq C$ (Transitividade)

Demonstração: Seja $x \in A$. Como $A \subseteq B$, então temos que $x \in B$. Da mesma forma, como $x \in B$ e $B \subseteq C$, então $x \in C$.
Logo, como $x \in A$ e $x \in C$, pela definição, $A \subseteq C$


Observação: caso $A \neq B$ e existam elementos de $A$ que estejam contidos em $B$, dizemos que essa inclusão é Inclusão Estrita. A notação é $A \subset B$.
As demonstrações são análogas as da inclusão.