Teorema: Se $r=\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left |a_{n} \right |}$, então temos que:
- Se $r<1$, a série converge (é absolutamente convergente).
- Se $r>1$, a série diverge.
- Se $r=1$, nada pode ser afirmado.
Demonstração: Se $r=\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left |a_{n} \right |} < 1$, considere $ \epsilon = \frac{1-r}{2}$. Então existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $\forall n > N$, $r - \epsilon < \sqrt[n]{\left |a_{n} \right |} < r + \epsilon$.
Denotando $\hat{r}=r + \epsilon$, temos que $\hat{r}<1$ e $\left |a_{n} \right | < \hat{r}^{n}$. Como essa série é geométrica com razão menor que $1$, então ela converge.
Pelo Teste da Comparação, se a série $\sum \left | a_{n} \right |$, então $\sum a_{n}$ é absolutamente convergente.
Se $r=\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left |a_{n} \right |} > 1$, considere $ \epsilon = \frac{r-1}{2}$ e $\hat{r}=r - \epsilon$. Como no caso anterior, teremos $\hat{r}^{k}<a_{n}$, com $\hat{r}>1$
Assim, $\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = \infty$. Logo, não pode ter $\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0$, o que significa que a série é divergente.
$\blacksquare$
0 comentários:
Postar um comentário