2017 - Questão de Geometria

Questão 161 do Caderno Azul
Viveiros de lagostas são construídos por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente $100m$ lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Quais devem ser os valores de $X$ e $Y$, em meto, para que a área da base do viveiro seja máximo?
     a) $1$ e $49$
     b) $1$ e $99$
     c) $10$ e $10$
     d) $25$ e $25$
     e) $50$ e $50$


Solução: Temos duas informações importantes: o perímetro desse viveiro é de $100m$ e temos que determinar a área da base, assim formamos o seguinte sistema:
$$\left\{\begin{matrix} 2x+2y=100\\ A=x.y \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=50\\ A=x.y \end{matrix}\right.$$
Se isolarmos a incógnita $y$ na primeira equação, encontramos: $y=50-x$ e substituindo na segunda equação: $A(x)=x.(50-x)$, cujo gráfico é uma parábola decrescente.

Logo, para determinar as medidas para termos a maior área possível, devemos calcular o valor do $x_{v}$ ($x$ do vértice).
Assim, a área será máxima quando $x=y=25m$.