Comprimento de Arco de Curvas Planas

Definição: O comprimento de arco de uma curva diferenciável $\gamma$, definida pelo gráfico da função diferenciável $y=y(x)$, cuja derivada é uma função contínua, com $x \in [a,b]$ é dado pela expressão
$$L(\gamma)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y'(x))^2}dx$$

Demonstração: Consideremos uma curva plana $\gamma$ dada pelo gráfico da função diferenciável com derivada contínua

$y=y(x)$ com $x \in [a,b]$. 

Utilizamos o cálculo integral para calcular o comprimento de arco da curva $y$. Para isso, primeiramente devemos construir uma partição $P$, do intervalo $[a,b]$ da forma $a=t_0<t_1<...<t_n=b$ de tal forma que aproximemos a curva por uma poligonal, cujos são $(t_0,y(t_0))$, $(t_1,y(t_1))$, ... , $(t_n,y(t_n))$, conforme a figura abaixo.

Para a partição $P$, o comprimento da poligonal que aproxima a curva $\gamma$ é dado por
$$L(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{N}\sqrt{\left ( t_i - t_{i-1} \right )^2+\left ( y(\eta _i) - y(t_{i-1}) \right )^2} $$
onde $\eta \in ]t_{i-1},t_i[$, isto é possível pois $y=y(x)$ possui derivada contínua. Assim, colocando o termo $(t_i,t_{i-1})^2$ e utilizando o Teorema do Valor médio, podemos escrever a função como:
$$L(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{N}\sqrt{1 + \left ( y'(\eta_i) \right )^2\left ( t_i-t_{i-1} \right )}$$
A ideia é que, quanto mais refinada for a partição, mais próximo o comprimento da poligonal deve estar daquilo que se espera que seja o comprimento do arco da curva. Desse modo, o comprimento do arco da curva $\gamma$ se dará aplicando um limite no qual o número de vértices da poligonal tende ao infinito e o comprimento dos segmentos tende a zero. Então podemos escrever:
$$L(\gamma,P)=\sum_{i=1}^{N}\sqrt{1 + \left ( y'(\eta_i) \right )^2\left ( t_i-t_{i-1} \right )}$$
Mas, pela definição, este limite é igual a integral sobre o intervalo, ou seja
$$L(\gamma)=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(y'(x))^2}dx$$