Centro de Massa

Considerando $m_1$ e $m_2$ massas de partículas pontuais sobre $x_1$ e $x_2$ respectivamente. Então, se as partículas estão em equilíbrio sobre um plano, temos quer $m_1x_1+m_2x_2=0$.
Em geral, para $n$ partículas, temos que o equilíbrio se dá se
$$\sum_{i=1}^{n}m_ix_i=0$$
Essa soma é chamada de momento do sistema. Seja $m= \sum_{i=1}^{n}m_i$  (*), definimos:

$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{m}$ ou $m\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}m_ix_i$

O ponto $P$ com coordenada $\bar{x}$ é chamado de centro de massa do sistema. e, fisicamente, $\bar{x}$ é o ponto sobre o qual poderíamos concentrar toda a massa do sistema sem alterar o momento do sistema.

Generalizando com massas $m_1, m_2, ... , m_n$ sobre pontos $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2), ... , P_n(x_n,y_n)$ sobre um plano coordenado. Os momentos $M_x$ e $M_y$ do sistema em relação aos eixos $x$ e $y$ são:

$M_x=\sum_{i=1}^{n}m_iy_i$ e $M_y=\sum_{i=1}^{n}m_ix_i$

Substituindo (*), então o centro de massa dos sistemas é dado por:

$m\bar{x}=M_y$ e $m\bar{y}=M_x$

Agora, tomando $\rho(x,y)$ como função densidade  e pela definição de integrais, então podemos concluir que o centro de massa dessa área se dá através das relações:

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\int_{D}xdA}{\int_DdA}$ e $\bar{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{\int_{D}ydA}{\int_DdA}$