Matriz Hessiana

A Matriz Hessiana (em homenagem ao matemático alemão Ludwig Otto Hesse) de uma função $f$ é a matriz quadrada das derivadas parciais de segunda ordem de $f$. São usadas em larga escala em problemas de otimização, pois descrevem a curvatura local da função. Seu determinante é chamado de função hessiana. 


Definição
Dada uma função real de várias variáveis $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, a Matriz Jacobiana (derivada) do gradiente é denominada Matriz Hessiana de $f$. Dessa forma: 
$$Hessf(x_{1}, ... , x_{n}) = J\begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}\\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x_1 \partial x_2} & ... & \frac{\partial^{2}f}{\partial x_n \partial x_2} \\ \vdots  & \ddots  & \vdots \\ \frac{\partial^{2}f}{\partial x_1 \partial x_n} & ... & \frac{\partial^{2}f}{\partial x_n \partial x_n} \end{bmatrix}$$

Propriedades
Como uma função com $n$ variáveis tem $n^2$ derivadas parciais de segunda ordem, a matriz hessiana também terá $n^2$ elementos, por isso ela sempre será uma matriz quadrada.
Como consequência do Teorema de Schwartz, a Matriz Hessiana sempre será simétrica, ou seja, a ordem de diferenciação não importa.


Ponto Crítico
Com a Matriz Hessiana conseguimos determinar se o(s) ponto(s) crítico(s) analisado(s) da função é (são) mínimo(s), máximo(s) ou ponto(s) de sela. Essa determinação é feita através da análise do determinante, ou seja

• Se $det(P_1)>0, det(P_2)>0, ... ,det(P_n)>0$, então os pontos são mínimos.
• Se $det(P_1)<0, det(P_2)<0, ...  , det(P_n)<0$, então os pontos são máximos.
• Se $det(P_1)>0, det(P_2)<0, ... , det(P_n)>0$, então é ponto de sela. 

Para tal, primeiro temos que calcular a Hessiana e substituir nela os pontos que devem ser analisados, com isso formaremos novas matrizes (apenas numéricas) e é a partir dos determinantes dessas novas matrizes que fazemos a análise dita acima.

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