Progressão Aritmética

Definição: Se $(a_1, a_2, ... , a_n)$ é uma progressão aritmética com razão $r$, então $a_n=a_1+(n-1)r$.


Demonstração: Por indução, vemos que para $n=1$ é verdadeira, pois:

$a_n=a_1+(n-1)r=a_n=a_1+(1-1)r=a_1=a_1+0r=a_1$

Agora, na hipótese de indução, consideremos que a fórmula vale para $n$, então vamos verificar $n+1$, assim:

$a_{n+1}=a_n+r=a_1+(n-1)r+r=a_1+nr=a_1+[(n+1)-1]r$

Logo é verificado para $n+1$.

Desse modo, pelo Princípio da Indução, a fórmula vale para todo número inteiro tal que $n \geq 1$

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Definição Soma: Sendo $(a_1, a_2, ... , a_n)$ uma progressão aritmética com razão $r$, então $S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$ é a soma dos $n$ termos da progressão.

Demonstração: Por indução, para $n=1$ se verifica, pois temos que

$S_1=\frac{(a_1+a_1).1}{2}=a_1$

Hipótese de indução: Seja $S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}$, daí:

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=(a_1+a_n)\frac{n}{2}+a_{n+1}=\frac{na_1+na_n+2_{an+1}}{2}=\frac{na_1+na_1+n(n-1)r+2a_{n+1}}{2}=\frac{(n+1)(a_1+a_{n+1}}{2}=(a_1+a_{n+1}).\frac{n+1}{2}$

Ou seja,

$S_{n+1}=(a_1+a_{n+1}).\frac{n+1}{2}$

Assim, pela hipótese de indução, a fórmula vale para todo $n$ inteiro, tal que $n \geq 1$.

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