Rotacional

Rotacional é um operador que calcula, em uma superfície infinitesimal, o quanto os vetores de um campo vetorial se afastam ou aproximam de um vetor normal a esta superfície.
Campos vetoriais aonde o rotacional é diferente de zero, são ditos campos de vórtice (vortex). Caso o rotacional seja zero, então o campo é chamado de irrotacional. Os campos vetoriais dados pela Lei da Gravitação Universal e pela Lei de Coulomb são campos irrotacionais, ou seja, nada girará sob a ação exclusiva destes.

Definição: Seja $\vec{F}=A\vec{i}+B\vec{i}+C\vec{i}$ um campo vetorial em $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$, definimos o rotacional de $\vec{F}$ em um ponto $P \in \Omega$ como sendo

$rot \vec{F}(P)=\left ( \frac{\partial C}{\partial y}P - \frac{\partial B}{\partial z}P \right ) \vec{i}+ \left ( \frac{\partial A}{\partial z}P - \frac{\partial C}{\partial x}P \right ) \vec{j} + \left ( \frac{\partial B}{\partial x}P - \frac{\partial A}{\partial y}P \right ) \vec{k}$

Observe que $rot \vec{F}$ é calculado através do seguinte determinante:
$$rot\vec{F}(P)=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A & B & C \end{vmatrix}$$
No caso bidimensional, onde $\vec{F}=A\vec{i}+B\vec{j}$, temos que
$$rot \vec{F}(P)=\left ( \frac{\partial B}{\partial x}P - \frac{\partial A}{\partial y}P \right ) \vec{k}$$