Variável Aleatória

Uma variável aleatória é uma variável quantitativa, cujo resultado depende de fatores aleatórios, por exemplo, o resultado do lançamento de uma moeda que pode ser cara ou coroa. Embora sabemos os possíveis resultados, não conhecemos o resultado em si. Outro exemplo de variável aleatória é o peso de um aluno de uma sala escolhido, que pode ter entre $80kg$ e $100kg$, ou seja $P(80<X<100)$.

Da definição formal temos que a variável aleatória $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ é a função mensurável de um conjunto de resultados possíveis $\Omega$ para um conjunto $\mathbb{R}$. A definição (axiomática) requer que $\Omega$ seja um espaço mensurável, isto é, $\Omega$ é considerado junto com um sistema $\omega$ de subconjuntos de $\Omega$. Os elementos de $\omega$ são chamados de conjuntos mensuráveis. É possível observar que em geral não é qualquer subconjunto de $\Omega$ que é mensurável. A definição também requer que $\mathbb{R}$ seja um espaço mensurável. 
Enfatizando que como a definição é axiomática, não necessita de demonstração.


Classificação
As variáveis aleatórias são divididas em três grupos:

$\bullet$ Discretas: São aquelas variáveis que podem ser contadas, isto é, uma variável aleatória discreta é uma variável para qual o conjunto $A$ é finito ou infinito contável. 
Exemplos: a quantidade de acidentes em um dia, os resultados ao lançarmos um dado, número de estudantes em uma sala de aula, etc.

$\bullet$ Contínua: são aquelas variáveis que podem assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou série de intervalos, isto é, uma variável aleatória contínua é uma variável para qual o conjunto $A$ é um conjunto infinito não enumerável. 
Exemplos: a distância ao lançarmos uma pedra, variação de temperatura, altura de árvores, quantidade de elétrons em uma corrente elétrica e etc. Note que nesses casos é impossível prever o resultado que pode ser obtido.

$\bullet$ Mista: são aquelas variáveis que podem assumir um caráter tanto discreto como contínuo, isto é, uma variável aleatória mista é uma variável para qual os conjuntos $A$ e $B$ existem, sendo o primeiro numerável e o segundo enumerável.
Exemplo: Ao lançarmos uma moeda para longe. Ela pode apresentar cara ou coroa, mas é enumerável a distância que ela cairá.