Centro de Massa

Considerando $m_1$ e $m_2$ massas de partículas pontuais sobre $x_1$ e $x_2$ respectivamente. Então, se as partículas estão em equilíbrio sobre um plano, temos quer $m_1x_1+m_2x_2=0$.
Em geral, para $n$ partículas, temos que o equilíbrio se dá se
$$\sum_{i=1}^{n}m_ix_i=0$$
Essa soma é chamada de momento do sistema. Seja $m= \sum_{i=1}^{n}m_i$  (*), definimos:

$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{m}$ ou $m\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}m_ix_i$

O ponto $P$ com coordenada $\bar{x}$ é chamado de centro de massa do sistema. e, fisicamente, $\bar{x}$ é o ponto sobre o qual poderíamos concentrar toda a massa do sistema sem alterar o momento do sistema.

Generalizando com massas $m_1, m_2, ... , m_n$ sobre pontos $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2), ... , P_n(x_n,y_n)$ sobre um plano coordenado. Os momentos $M_x$ e $M_y$ do sistema em relação aos eixos $x$ e $y$ são:

$M_x=\sum_{i=1}^{n}m_iy_i$ e $M_y=\sum_{i=1}^{n}m_ix_i$

Substituindo (*), então o centro de massa dos sistemas é dado por:

$m\bar{x}=M_y$ e $m\bar{y}=M_x$

Agora, tomando $\rho(x,y)$ como função densidade  e pela definição de integrais, então podemos concluir que o centro de massa dessa área se dá através das relações:

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\int_{D}xdA}{\int_DdA}$ e $\bar{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{\int_{D}ydA}{\int_DdA}$

Integral Tripla

Seja uma função $w=f(x,y,z)$ definida numa região fechada e limitada no 
espaço $xyz$. Para o cálculo da integral tripla desta região temos que:
$$\iiint f(x,y,z) dA$$
A integral tripla é calculada através de integrações sucessivas.

Propriedades

Elenca-se duas das mais importantes e usadas propriedades das integrais, onde $k \in \mathbb{R}$

1. $\iiint k.f dA$ = $k\iiint fdA$
2. $\iiint (f+g)dA$ = $\iiint fdA + \iiint gdA$

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Integral Dupla

Seja $z=f(x,y)$ uma função definida numa região R fechada e limitada do plano $xy$.
Traçando retas paralelas aos eixos $x$ e $y$, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considerando os retângulos que estão inteiramente contidos em $R$ e numerando-os de 1 a n, a área de um destes corresponde a $\Delta A_{k}$=$\Delta x_{k}$$\Delta y_{k}$.
Multiplicando pela função teremos o volume dos n retângulos. Considerando a base $xy$ e a superfície $z=f(x,y)$:
$$\sum_{k=1}^{n}f\left ( x_{k},y_{k}\right )\Delta A_{k}$$.
Se aumentarmos o número n de retângulos até tender ao infinito, o volume tenderá a se aproximar do volume delimitado pela região $R$, com a base sendo $xy$ e a superfície $z=f(x,y)$, ou seja:
$$\lim_{n \to \infty }\sum_{k=1}^{n}f\left ( x_{k},y_{k}\right )\Delta A_{k}$$

A expressão acima equivale a integral dupla de $f(x,y)$ sobre $R$:

$$\iint_{R}f(x,y)dA   \Leftrightarrow \iint_{R}f(x,y)dxdy$$


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