Vamos demonstrar a fórmula de Bhaskara por dois métodos: pela forma mais conhecida, que é a de completar quadrados e a segunda chamada de Método de Viète.
1º) A equação de segundo grau a ser resolvida é:
$$ax^2+bx+c=0\Rightarrow a\neq 0$$
$$ax^2+bx+c=0\Rightarrow a\neq 0$$
Multiplicamos ambos os lados da igualdade por $4a$, resultando em: $(4a).(ax^2+bx+c)=0.(4a) \Rightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac=0$.
Passando o termo $4ac$ para o segundo membro:
$4a^2+x^2+4abx=-4ac$
Para completar quadrados, somamos $b^2$ em ambos os lados da igualdade:
$4a^2+x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$
Podemos perceber que no primeiro termo, formou-se (como queríamos) um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$.
Para deixarmos a expressão de forma em que conhecemos, podemos efetuar a raiz quadrada e subtrair $b$ em ambos os lados:
$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$.
Finalmente, dividimos os termos por $2a$:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Como queríamos, demonstramos a fórmula de Bhaskara pelo método que eu julgo ser o mais conhecido.
Para a segunda demonstração usaremos um método não tão conhecido ou aplicado, mas não por isso menos elegante que os demais:
2º) Usando a mesma hipótese, tomamos um $x$ de modo que $x=u+v$ sejam as raízes da equação. Substituindo na equação:
$a(u+v)^2+b(u+v)+c=0$
$au^2+2auv+av^2+bu+bv+c=0$
Vamos resolver a equação em $v$:
$av^2+(2au+b)v+au^2+bu+c=0$
Para eliminar o coeficiente de v, faremos que
$2au+b=0 \Rightarrow u=\frac{-b}{2a}$
Substituindo na equação, encontramos:
$av^2+\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{2a}+c=0$
Para finalizar nossa demonstração, basta tirarmos o mínimo e simplificarmos a equação o máximo possível:
$4a^2v^2+b^2-2b^2+4ac=0$
$4a^2v^2-b^2+4ac=0$
$4a^2v^2=b^2-4ac$
$v^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$v=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
Como afirmamos no início da demonstração que $x=u+v$ e encontramos que $u=\frac{-b}{2a}$ , então:
$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Assim demonstramos a Fórmula de Bhaskara pelo Método de Viète.
Ou, pelo jeito clássico: C.Q.D. (Quod erat demonstrandum).
Passando o termo $4ac$ para o segundo membro:
$4a^2+x^2+4abx=-4ac$
Para completar quadrados, somamos $b^2$ em ambos os lados da igualdade:
$4a^2+x^2+4abx+b^2=-4ac+b^2$
Podemos perceber que no primeiro termo, formou-se (como queríamos) um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:
$(2ax+b)^2=b^2-4ac$.
Para deixarmos a expressão de forma em que conhecemos, podemos efetuar a raiz quadrada e subtrair $b$ em ambos os lados:
$2ax=-b\pm \sqrt{b^2-4ac}$.
Finalmente, dividimos os termos por $2a$:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Como queríamos, demonstramos a fórmula de Bhaskara pelo método que eu julgo ser o mais conhecido.
Para a segunda demonstração usaremos um método não tão conhecido ou aplicado, mas não por isso menos elegante que os demais:
2º) Usando a mesma hipótese, tomamos um $x$ de modo que $x=u+v$ sejam as raízes da equação. Substituindo na equação:
$a(u+v)^2+b(u+v)+c=0$
$au^2+2auv+av^2+bu+bv+c=0$
Vamos resolver a equação em $v$:
$av^2+(2au+b)v+au^2+bu+c=0$
Para eliminar o coeficiente de v, faremos que
$2au+b=0 \Rightarrow u=\frac{-b}{2a}$
Substituindo na equação, encontramos:
$av^2+\frac{b^2}{2a}-\frac{b^2}{2a}+c=0$
Para finalizar nossa demonstração, basta tirarmos o mínimo e simplificarmos a equação o máximo possível:
$4a^2v^2+b^2-2b^2+4ac=0$
$4a^2v^2-b^2+4ac=0$
$4a^2v^2=b^2-4ac$
$v^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
$v=\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$
Como afirmamos no início da demonstração que $x=u+v$ e encontramos que $u=\frac{-b}{2a}$ , então:
$x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
Assim demonstramos a Fórmula de Bhaskara pelo Método de Viète.
Ou, pelo jeito clássico: C.Q.D. (Quod erat demonstrandum).
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