Distribuição de Bernoulli

Exemplo: Uma fábrica de lentes de contato produza lentes de contatos que apresente defeitos que distorcem a imagem com probabilidade $p=0,96$ de que haja erro na lente. Definamos $X_n$ como $1$ ou $0$ se apresenta algum erro de distorção na n-ésima lente produzida ou se não apresenta, respectivamente. Assumindo que a produção da lente ocorra de forma independente, sejam as variáveis aleatórias $X_1, X_2, ...X_n$ são independentes. Então $X={X_n, n=1,2,...}$ é um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso $P(X_n=1)=p=0,96$.
Qual a probabilidade das duas primeiras lentes terem defeitos e as duas subsequentes não tenham?

Resolução: Como queremos duas com defeito e duas sem, então:
$(1-p).(1-p).p.p=(1-p)^2.p^2=0,04^2.0,96^2=0,9232$

Clique aqui para ler a teoria sobre Distribuição de Bernoulli.

Exemplo do Teste Z

Exemplo 1: Uma indústria produz discos de metal, segundo o vendedor, os diâmetros dos discos são de $10 cm$, com desvio padrão de $0,13 cm$. O comprador selecionou $30$ discos aleatoriamente para confirmar os diâmetros e obteve média $9,9 cm$. O comprador deseja confirmar os diâmetros para uma $\alpha=0,05$.

Resolução: Vamos tomar duas hipóteses:
      $H_{0}$: Os discos tem $10 cm$ de diâmetro.
      $H_{1}$: Os discos não tem $10 cm$ de diâmetro.

$z=\frac{(\hat{X}-\mu_{\hat{X}})}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

$z=\frac{(9,9-10)}{\frac{0,13}{\sqrt{30}}}$

$z=-4,347$

Temos que $\alpha=0,05$, logo $\alpha:2=0,025$. A área total menos o crítico resulta em: $1-0,025=0,975$.
Diante da tabela da área sob a distribuição normal (pode ser visualizada aqui, na teoria do Teste Z), $0,975$ é a junção das colunas $1,9$ e $6$, ou seja: $1,96$.

Note: encontramos $z=-4,34$ e $z_{crit}=1,96$ e como $\left | z \right | > \left | z_{crit} \right |$, rejeitamos a $H_{0}$.


Exemplo 2: Admitamos uma amostra relativa às notas de um grupo de $100$ alunos apresente distribuição normal. Foram calculados o desvio padrão e a média da amostra: $2,7$ e $7,7$ respectivamente.
Calcule o escore Z para um aluno que tenha obtido nota $6,2$ e discuta o resultado.

Resolução: 

$z=\frac{(\hat{X}-\mu_{\hat{X}})}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

$z=\frac{(6,2-7,7)}{\frac{2,7}{\sqrt{100}}}$

$z=-0,55$

Novamente consultando a tabela: $0,55=0,5+0,05$, esses valores (nas colunas) resultam em $0,7088$.

Concluímos então que $70,88%$ dos alunos tiraram notas maiores que a do aluno em questão.

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{senx}$

Vamos resolver $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{senx}$ de duas maneiras: primeiramente pela Regra de L'Hôpital e depois por manipulações algébricas.

1. Regra de L'Hôpital
Se aplicarmos $0$ no limite acharemos uma indeterminação:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{senx}=\frac{0}{sen0}=\frac{0}{0}$$
Para resolvermos essa indeterminação podemos aplicar a regra de L'Hôpital, ou seja:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Então teremos:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{senx}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{cosx}=\frac{1}{cos0}=1$$

2. Manipulação Algébrica
Aplicando uma das regras de limites:
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{senx}=$\lim_{x \rightarrow 0} (\frac{senx}{x})^{-1}=1^{-1}=1$$

$2^{n}>4n$ para $n \geqslant 5$

Vamos demonstrar, por indução, que $2^{n}>4n$ $\forall n \geqslant 5$ com $n \in Z^{+}$.
Primeiro vemos que é verdade para $n=5$, pois temos:

$n=5 \Rightarrow 2^{5}=32 > 20=4.(5)$

Agora, como hipótese indutiva tomaremos que $2^{k}>4k$, com $k \geqslant 5$. 
Então vamos demonstrar que $2^{k+1}>4(k+1)$ é verdadeira.

$2^{k+1}=2.2^{k}$
        $=2^{k}+2^{k}$
        $>4k+4k$ pela hipótese indutiva
        $>4k +4$ pois $k \geqslant 5$
        $=4(k+1)$

Como supomos para um valor $k$ e demonstramos para $k+1$, então conseguimos demonstrar por indução que $2^{n}>4n$ $\forall n \geqslant 5$.

$\blacksquare$

$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$

Essa desigualdade é interessante de ser refutada e faremos isso de forma fácil: por contradição, pois se acharmos pelo menos um exemplo em que a igualdade não funcione, podemos afirmar que as integrais são diferentes.

Primeiramente, tomaremos duas funções:

$f(x)=senx$ e $g(x)=cosx$

Dessa forma, vamos determinar os valores das integrais:

$(1)$ $\int senxcosx dx$

Por uma identidade trigonométricas temos que: 
$$senxcosx = \frac{1}{2}sen2x$$
Logo:
$$\int sen2x dx = \frac{1}{2} \int sen2x dx$ = - \frac{1}{4}cos2x + c$$

$(2)$ $\int senxdx \int cosxdx$

$=(senx+c_{2}).(-cosx+c_{3})$

$=-senxcosx+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$

$=-\frac{1}{2}sen2x+c_{3}senx-c_{2}cosx+c_{2}c_{3}$

Note que $(1) \neq (2)$, ou seja: 

$\int f(x)g(x)dx \neq \int f(x)dx \int g(x)dx$.

$\int cos(lnx)dx$

Para determinar a integral $\int cos(lnx) dx$, usaremos o método da Integração por Partes.
Então vamos tomar:

$u=cos(lnx)$
$du=-\frac{1}{x}sen(lnx)dx$     
$dv=dx$
$v=x$

Assim:

$\int cos(lnx) dx = xcos(lnx) + \int x\frac{1}{x}sen(lnx)dx$

$\int cos(lnx) dx = xcos(lnx) + \int sen(lnx)dx$

Vamos aplicar a integração por partes novamente, então tomamos:

$w=sen(lnx)$     
$dw=\frac{1}{x}cos(lnx)$
$dt=dx$
$t=x$

$\int cos(lnx) dx = xsen(lnx) - \int x \frac{1}{x}cos(lnx)dx$

$\int cos(lnx) dx = xsen(lnx) - \int cos(lnx)dx$

Agora note que, em ambos os lados da igualdade, possuímos o termo $\int cos(lnx) dx$, assim podemos somar ambos os lados por ele e obtemos:

$2 \int cos(lnx) dx = xsen(lnx)$

Por fim, obtemos que:

$\int cos(lnx) dx =\frac{xsen(lnx)}{2}$

$\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{sinx}{\sqrt{\pi-x}}=0$

Temos que:

$sin(\pi-x)=sin\pi.cosx-cos\pi.sinx=sinx$

Então:

$\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{sinx}{\sqrt{\pi-x}}=\lim_{x \rightarrow \pi^{+}}\frac{sin(\pi-x)}{\sqrt{\pi-x}}$

Racionalizando obtemos:

$\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{sin(\pi-x).\sqrt{\pi-x}}{\pi-x}$

Agora tomamos $t=\pi-x$, desse modo:

$\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{sin(\pi-x).\sqrt{\pi-x}}{\pi-x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sint}{t}\sqrt{t}$

Mas como sabemos que $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{sint}{t}=1$, então:

$\lim_{x \rightarrow \pi^{+}} \frac{sinx}{\sqrt{\pi-x}}=0$

1+3+5+7+...=n²

Para todos os números naturais $n$, com $n\geqslant 1$, temos que:
$$1+3+5+...+(2n-1) = n^2$$
Prova: Para provar, por indução, temos que relembrar as duas propriedades que devem ser satisfeitas:
          $i.$ $1 \in S$
          $ii.$ Se $m \in S$, então $n+1 \in S$

A primeira propriedade é satisfeita, pois para $n=1$, temos que $1=1^2$, logo o passo base é verdadeiro.
Como é verdade para $n=1$, então deve ser verdadeira para $n=k+1$ (com $k \in S$, $k \geqslant 1$). 

Devemos mostrar que:
$$1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) = (k+1)^2, k \geqslant 1$$
Sabemos que:
$$1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1) =k^2+2k+1 = (k+1)^2$$

Logo, provamos o que queríamos.

Demonstração da Derivada de ln(x)

Seja a derivada de $ln(x)$, então temos que:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$$

Podemos aqui utilizar uma das propriedades dos logaritmos, transformando uma diferença de logaritmos em quociente, desse modo:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [\frac{1}{h}.ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )  \right ]$$

Usando a propriedade do expoente obtemos:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Simplificando:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+\frac{h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Para simplificar a demonstração, trocaremos a variável: $u=\frac{h}{x}$, logo $h=x.u$ e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{x.u}}  \right ]$$

e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{u}}  \right ]^{\frac{1}{x}}$$

Note que o desenvolvimento até trouxe-nos ao limite fundamental da exponencial, assim:

$${f}'(x)= ln(e)^{\frac{1}{x}}$$

Novamente utilizando a propriedade da exponencial:

$${f}'(x)=\frac{1}{x}.ln(e)$$

E como sabemos que $ln(e)=1$, podemos concluir que

$${f}'(x)=\frac{1}{x}$$