Demonstração da Derivada de ln(x)

Seja a derivada de $ln(x)$, então temos que:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$$

Podemos aqui utilizar uma das propriedades dos logaritmos, transformando uma diferença de logaritmos em quociente, desse modo:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [\frac{1}{h}.ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )  \right ]$$

Usando a propriedade do expoente obtemos:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Simplificando:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+\frac{h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Para simplificar a demonstração, trocaremos a variável: $u=\frac{h}{x}$, logo $h=x.u$ e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{x.u}}  \right ]$$

e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{u}}  \right ]^{\frac{1}{x}}$$

Note que o desenvolvimento até trouxe-nos ao limite fundamental da exponencial, assim:

$${f}'(x)= ln(e)^{\frac{1}{x}}$$

Novamente utilizando a propriedade da exponencial:

$${f}'(x)=\frac{1}{x}.ln(e)$$

E como sabemos que $ln(e)=1$, podemos concluir que

$${f}'(x)=\frac{1}{x}$$