Derivada

Definição: Se uma função $f$ é definida em um intervalo aberto contendo $x_{0}$, então a derivada de $f$ em $x_{0}$, denotada por $f'(x_{0})$ é dada por:

$$f'(x_{0})= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$$

Se o limite existir e for finito, diremos que $f$ é derivável (ou diferenciável) em $x_{0}$. O valor de $f'(x_{0})$ é chamado de derivada de $f$ no ponto $x_{0}$ e representa a inclinação da reta tangente nesse ponto.

Suponha que $y$ seja uma função de $x$, ou seja, $y=f(x)$. Se $x$ variar de um valor $x_{0}$ até $x_{1}$, então representamos esse incremento de $x$ por $\Delta x$ e a variação em $y$ por $\Delta y$. A figura a seguir ilustra essa situação:

O quociente entre as variações, dado por $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, é chamada de Taxa de Variação Média. Quando o limite desse quociente tender à zero, então chamamos esse valor de Taxa de Variação Instantânea, afinal a variação é tão pequena que tende à zero.

Interpretação Geométrica

A derivada de uma função $f$ no ponto $x_{0}$ fornece o coeficiente angular  (coeficiente de inclinação) da reta tangente a $f$ no ponto $(x_{0},f(x_{0}))$.

Sabemos que a equação de reta que passa por dois pontos é dada por:

$$y-y_{0}=m(x-x_{0})$$

Mas nesse caso, temos que $f'(x_{0})=m$, então:

$$y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})$$

Com a equação acima, conseguimos determinar a equação tangente a um ponto qualquer da curva derivada.

Observação: Uma consequência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável em um ponto de seu domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico neste ponto. Se, em um ponto $x_{0}$ ocorrer, por exemplo, um "salto", então não há reta tangente, consequentemente não há derivada.

Derivada pela definição

Exemplo: $f(x)=x^{2}+3x-2$

Para derivar a função $f(x)=x^{2}+3x-2$ pela definição, vamos aplicar em $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}$, desse modo:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}+3(x+\Delta x)-2-(x^{2}+3x-2)}{\Delta x}$

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2x \Delta x + \Delta x^{2} + 3x + 3\Delta x - 2 - x^{2} - 3x + 2}{\Delta x}$

Simplificando obtemos:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2x \Delta x + \Delta x^{2}  + 3\Delta x }{\Delta x}$

Evidenciando o termo $\Delta x$:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x (2x + \Delta x  + 3)}{\Delta x}$

Como possuímos o termo $\Delta x$ em evidência no numerador e no denominador, podemos simplifica-lo e por fim aplicar o limite:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x  + 3$

$f'(x)=2x + 0  + 3$

Concluímos que: 
$$f'(x)=2x+3$$

Regra de L'Hospital

De forma geral, sempre que ao aplicarmos um limite obtermos as indeterminações $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$ podemos aplicar as regras enunciadas abaixo.

Primeira regra: Sejam $f$ e $g$ duas funções contínuas num intervalo $I$, deriváveis no interior de $I$, tais que $g'(x) \neq 0$, $\vee x \in I$. 
Seja $a \in I$ e suponhamos que $f(a)=g(a)=0$ e que existe $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, finito ou infinito. Então existe $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ e:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Segunda regra: Sejam $f$ e $g$ deriváveis em todo ponto $x$ distinto de $a$, pertencente a uma vizinhança $S$ de $a$, ou seja, $S = ] a-r, a+r [ , r>0$. 
Suponhamos então que $g'(x) \neq 0$ para todo $x \in S$ e que $\lim_{x \to a} f(x)$ $=$ $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$. Se existe
$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ então existe $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ e, ainda: 

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Demonstração

Seja $x \neq a$ um ponto qualquer do intervalo $I$. Aplicando o Teorema de Cauchy, temos que (para algum $\bar{x} \in ]a,x[$):

$$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

Como, pela hipótese, $f(a)=g(a)=0$, temos que (i):

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

Assim,

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{(\bar{x}) \to a} \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

E, do passo (i),

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Concluindo assim que

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Demonstração da Derivada de ln(x)

Seja a derivada de $ln(x)$, então temos que:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}$$

Podemos aqui utilizar uma das propriedades dos logaritmos, transformando uma diferença de logaritmos em quociente, desse modo:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [\frac{1}{h}.ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )  \right ]$$

Usando a propriedade do expoente obtemos:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (\frac{x+h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Simplificando:

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+\frac{h}{x}  \right )^{\frac{1}{h}}  \right ]$$

Para simplificar a demonstração, trocaremos a variável: $u=\frac{h}{x}$, logo $h=x.u$ e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{x.u}}  \right ]$$

e

$${f}'(x)=\lim_{h \to 0} \left [ln\left (1+u  \right )^{\frac{1}{u}}  \right ]^{\frac{1}{x}}$$

Note que o desenvolvimento até trouxe-nos ao limite fundamental da exponencial, assim:

$${f}'(x)= ln(e)^{\frac{1}{x}}$$

Novamente utilizando a propriedade da exponencial:

$${f}'(x)=\frac{1}{x}.ln(e)$$

E como sabemos que $ln(e)=1$, podemos concluir que

$${f}'(x)=\frac{1}{x}$$

Otimização (Máximos e Mínimos)

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