Teorema do Conjunto Vazio

Teorema: Um conjunto com nenhum elemento é um subconjunto de cada conjunto. Em outras palavras, se $\varnothing$ é um conjunto com nenhum elemento e $A$ é um conjunto qualquer, então $\varnothing \subseteq A$.

Demonstração: Por contradição, dizemos que $\varnothing$ é um conjunto sem nenhum elemento e que $\varnothing \nsubseteq A$, sendo $A$ um conjunto qualquer.
Nesse caso, devemos encontrar algum elemento de $\varnothing$ que não pertença ao conjunto $A$, porém isso não pode acontecer, afinal $\varnothing$ não possui nenhum elemento, ou seja, encontramos uma contradição. Concluímos então que nossa hipótese inicial é falsa, ou seja, $\varnothing \subseteq A$.


Corolário: Existe somente um conjunto com nenhum elemento.

Demonstração: Vamos supor que $\varnothing_{1}$ e $\varnothing_{2}$ são conjuntos com nenhum elemento. Pelo teorema demonstrado acima, $\varnothing_{1} \subseteq \varnothing_{2}$ já que $\varnothing_{1}$ não possui nenhum elemento. Do mesmo modo, $\varnothing_{2} \subseteq \varnothing_{1}$, pois $\varnothing_{2}$ também não possui nenhum elemento, logo concluímos que $\varnothing_{1} = \varnothing_{2}$, pois o primeiro está incluso no segundo e vice-versa.

Concluí-se assim que existe apenas um conjunto vazio.