Leis de De Morgan

Sejam $A$, $B$ e $C$ subconjuntos pertencentes a um conjunto universo $U$, então valem as igualdades:

$i. (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$
Demonstração: Temos que, pela lei do complementar:
$$x \in (A \cup B)^{c} \Leftrightarrow x \in (A^{c} \cap B^{c}).$$

$ii. (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$
Demonstração: De forma análoga a demonstração de cima, temos que:
$$x \in (A \cap B)^{c} \Leftrightarrow x \in (A^{c} \cup B^{c}).$$

Identidades dos Conjuntos

Sejam $A$, $B$ e $C$ subconjuntos do conjunto universal $U$, então valem as seguintes identidades:

$i.$ Comutatividade: $A \cup B = B \cup A$ e $A \cap B = B \cap A$

$ii.$ Associatividade: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ 

                                  $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

$iii.$ Distributividade: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ 

                                    $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

$iv.$ Interseção com $U$: $A \cap U = A$

$v.$ União com $U$: $A \cup U = U$

$vi.$ Complemento duplo: $(A^{c})^{c} = A$

$vii.$ Idempotência: $A \cap A = A$

$viii.$ De Morgan: $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$ 

                             $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$

                            

$iv.$ Absorção: $A \cap (A \cup B) = A$

                         $A \cup (A \cap B) = A$

$v.$ Diferença de Conjuntos: $A - B = A \cap B^{c}$

Teorema do Conjunto Vazio

Teorema: Um conjunto com nenhum elemento é um subconjunto de cada conjunto. Em outras palavras, se $\varnothing$ é um conjunto com nenhum elemento e $A$ é um conjunto qualquer, então $\varnothing \subseteq A$.

Demonstração: Por contradição, dizemos que $\varnothing$ é um conjunto sem nenhum elemento e que $\varnothing \nsubseteq A$, sendo $A$ um conjunto qualquer.
Nesse caso, devemos encontrar algum elemento de $\varnothing$ que não pertença ao conjunto $A$, porém isso não pode acontecer, afinal $\varnothing$ não possui nenhum elemento, ou seja, encontramos uma contradição. Concluímos então que nossa hipótese inicial é falsa, ou seja, $\varnothing \subseteq A$.


Corolário: Existe somente um conjunto com nenhum elemento.

Demonstração: Vamos supor que $\varnothing_{1}$ e $\varnothing_{2}$ são conjuntos com nenhum elemento. Pelo teorema demonstrado acima, $\varnothing_{1} \subseteq \varnothing_{2}$ já que $\varnothing_{1}$ não possui nenhum elemento. Do mesmo modo, $\varnothing_{2} \subseteq \varnothing_{1}$, pois $\varnothing_{2}$ também não possui nenhum elemento, logo concluímos que $\varnothing_{1} = \varnothing_{2}$, pois o primeiro está incluso no segundo e vice-versa.

Concluí-se assim que existe apenas um conjunto vazio.