Derivada pela definição

Exemplo: $f(x)=x^{2}+3x-2$

Para derivar a função $f(x)=x^{2}+3x-2$ pela definição, vamos aplicar em $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x}$, desse modo:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^{2}+3(x+\Delta x)-2-(x^{2}+3x-2)}{\Delta x}$

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+2x \Delta x + \Delta x^{2} + 3x + 3\Delta x - 2 - x^{2} - 3x + 2}{\Delta x}$

Simplificando obtemos:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2x \Delta x + \Delta x^{2}  + 3\Delta x }{\Delta x}$

Evidenciando o termo $\Delta x$:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x (2x + \Delta x  + 3)}{\Delta x}$

Como possuímos o termo $\Delta x$ em evidência no numerador e no denominador, podemos simplifica-lo e por fim aplicar o limite:

$f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x  + 3$

$f'(x)=2x + 0  + 3$

Concluímos que: 
$$f'(x)=2x+3$$