Regra de L'Hospital

De forma geral, sempre que ao aplicarmos um limite obtermos as indeterminações $\frac{\infty}{\infty}$ ou $\frac{0}{0}$ podemos aplicar as regras enunciadas abaixo.

Primeira regra: Sejam $f$ e $g$ duas funções contínuas num intervalo $I$, deriváveis no interior de $I$, tais que $g'(x) \neq 0$, $\vee x \in I$. 
Seja $a \in I$ e suponhamos que $f(a)=g(a)=0$ e que existe $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, finito ou infinito. Então existe $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ e:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Segunda regra: Sejam $f$ e $g$ deriváveis em todo ponto $x$ distinto de $a$, pertencente a uma vizinhança $S$ de $a$, ou seja, $S = ] a-r, a+r [ , r>0$. 
Suponhamos então que $g'(x) \neq 0$ para todo $x \in S$ e que $\lim_{x \to a} f(x)$ $=$ $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$. Se existe
$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ então existe $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ e, ainda: 

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Demonstração

Seja $x \neq a$ um ponto qualquer do intervalo $I$. Aplicando o Teorema de Cauchy, temos que (para algum $\bar{x} \in ]a,x[$):

$$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

Como, pela hipótese, $f(a)=g(a)=0$, temos que (i):

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

Assim,

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{(\bar{x}) \to a} \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})}$$

E, do passo (i),

$$\lim_{x \to a} \frac{f'(\bar{x})}{g'(\bar{x})} = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

Concluindo assim que

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$