$\int cos(lnx)dx$

Para determinar a integral $\int cos(lnx) dx$, usaremos o método da Integração por Partes.
Então vamos tomar:

$u=cos(lnx)$
$du=-\frac{1}{x}sen(lnx)dx$     
$dv=dx$
$v=x$

Assim:

$\int cos(lnx) dx = xcos(lnx) + \int x\frac{1}{x}sen(lnx)dx$

$\int cos(lnx) dx = xcos(lnx) + \int sen(lnx)dx$

Vamos aplicar a integração por partes novamente, então tomamos:

$w=sen(lnx)$     
$dw=\frac{1}{x}cos(lnx)$
$dt=dx$
$t=x$

$\int cos(lnx) dx = xsen(lnx) - \int x \frac{1}{x}cos(lnx)dx$

$\int cos(lnx) dx = xsen(lnx) - \int cos(lnx)dx$

Agora note que, em ambos os lados da igualdade, possuímos o termo $\int cos(lnx) dx$, assim podemos somar ambos os lados por ele e obtemos:

$2 \int cos(lnx) dx = xsen(lnx)$

Por fim, obtemos que:

$\int cos(lnx) dx =\frac{xsen(lnx)}{2}$