Paridade de Funções

Seja $S \subseteq  \mathbb{R}$ um conjunto com a seguinte propriedade de simetria em relação à origem:
$$x \in S \Rightarrow -x \in S$$
Então dizemos que:

• A função $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ é par se $f(x)=f(-x)$.
• A função $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ é ímpar se  $f(-x)=-f(x)$.

Propriedades

1. Existem funções não são nem pares nem ímpares.
2. A única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula.
3. A soma de funções de mesma paridade mantém a paridade.
4. O produto de duas funções de mesmas paridades é uma função par.
5. O produto de duas funções de paridades distintas é uma função ímpar.
6. A derivada de uma função par é uma função ímpar.
7. A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Função Seno

Denomina-se função seno a função que associa a cada número real $x$ o número $y=senx$.

Domínio
Como $senx$ é definido para todo $x$ real, dizemos que o domínio de $f(x)=senx$ é o conjunto $\mathbb{R}$, ou seja, 
$$D=\mathbb{R}$$
Conjunto Imagem
Sabemos que o $senx$ assume valor máximo igual a $1$, quando $x$ é um número real que representa um arco com primeira determinação $\frac{\pi}{2}$ e alor mínimo igual a $-1$, quando $x$ representa um arco com primeira determinação $\frac{3\pi}{2}$.

Assim o conjunto imagem de $f(x)=senx$ é:
$$Im=[-1,1]$$
Gráfico
Para construirmos o gráfico da função $f(x)=senx$, monta-se uma tabela com arcos notáveis, de modo geral valores entre $0$ e $2\pi$. Esse intervalo de construção do gráfico é chamado de senoide, logo o gráfico em todos os reais é uma sucessão de senoides.

Período
Uma função é chamada periódica se existe um número positivo $p$ que satisfaz a igualdade $f(x+p)=f(x)$ para todo $x \in D$. 
Sabemos que $sen(x + 2\pi)=senx$, então temos que:
$$P=2\pi$$
Isso explica o fato de o gráfico ser uma repetição de senoides de $2 \pi$ a $2 \pi$.

Paridade
Pela definição de função par ou ímpar, temos que $sen(-x)=-sen(x)$, ou seja, a função $f(x)=senx$ é uma função ímpar.

Função Exponencial

Um função exponencial é toda função na forma , ou seja, qualquer função em que o x se apresente como expoente. 
A lei de formação de qualquer função exponencial é dada por:

f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1

Os gráficos variam em função da base a, podendo ser crescente ou decrescente, conforme as figuras abaixo:

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Função do Primeiro Grau

É chamada de Função do Primeiro Grau toda a função definida pela lei  $f(x)=ax+b$, com $a$ e $b$ números reais e a diferente de zero. 
O coeficiente $a$ é chamado de coeficiente angular e $b$ é chamado de coeficiente linear. 

Crescimento/Decrescimento
Se $a>0$ a função é chamada de crescente.
Se $a<0$ a função é chamada de decrescente.

Obs.: O coeficiente $b$ é o valor do ponto pertencente ao eixo $y$ (eixo das ordenadas) na qual passará o gráfico, ou seja, $(0,b)$.
Por exemplo, a função $y=x+3$ toca o eixo y no ponto $(0,3)$.


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Função Quadrática

Definição: Chamamos de Função Quadrática (ou Função do Segundo Grau) toda função f de IR em IR  dada pela lei $y=ax^2+bx+c$, onde $a, b, c$ são números reais  e a sendo diferente de zero.


Zeros da Função: Serão chamados de zeros da função (ou raízes) os valores de $x$ tais que $f(x)=0$. Esses valores são encontrados através da fórmula de Bháskara:

E esses zeros da função serão os valores que tocarão o eixo das abcissas. 

Observação: 
Se Δ>0 a função possuirá duas raízes reais e distintas.
Se Δ=0 a função possuirá duas raízes reais iguais.
Se Δ<0 a função não possuirá raízes reais.


Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada de parábola, podendo ter a concavidade voltada para cima e ser chamada de crescente (se $4>0$) ou ter a concavidade voltada para baixo e ser chamada de decrescente (se $a<0$). 
Se Δ>0 o gráfico tocará duas vezes no eixo $x$.
Se Δ=0 o gráfico tocará apenas uma vez no eixo $x$.
Se Δ<0 o gráfico não tocará no eixo $x$. 



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